1. Démontrer que :
∀x ∈ R, f (x) f
(x) f
(x)
2
.
On pourra effectuer un développement limité à l’ordre 2 pour y au voisinage de
0 de f (x + y) f (x − y).
2. On suppose de plus que f est à valeurs strictement positives. Démontrer que la
fonction ln ◦ f est convexe.
3. En déduire que f est convexe.
1. L’hypothèse fait intervenir deux réels x et y, la conclusion uniquement la variable
x . L’indication suggère de fixer le réel x et de considérer l’expression
f (x + y) f (x − y) comme une fonction de y.
Soit un réel x. f étant deux fois dérivable, la formule de Taylor-Young fournit le développement limité quand y tend vers 0 :
f (x + y) = f (x) + y f
(x) +
1
2
y
2 f
(x) + o(y
2
).
En substituant −y à y il vient également :
f (x − y) = f (x) − y f
(x) +
1
2
y
2 f
(x) + o(y
2
).
Pour calculer le dévelopepment limité du produit, nul besoin de tout développer :
on ne conserve que les termes en y k avec k 2.
On en déduit :
f (x + y) f (x − y) = f (x)
2
+ y
2
( f (x) f
(x) − f
(x)
2
) + o(y
2
)
ou encore, en divisant par y 2 :
f (x + y) f (x − y) − f (x) 2
y 2
= f (x) f
(x) − f
(x)
2
+ o(1)
Le signe du numérateur du membre de gauche est connu : c’est précisément l’hypothèse de l’exercice !
Le membre de gauche de l’inégalité précédente est positif car
f (x + y) f (x − y) f (x) 2 par hypothèse et y 2 > 0.
On obtient donc, en faisant tendre y vers 0 :
0 f (x) f
(x) − f
(x)
2
.
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
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Chapitre 7 • Dérivation, développements limités
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