Mais f −1 ( f (x)) = x donc, par unicité du développement limité :

 
 
a = 1
a + b
= 0
a
2
+ c +
3
b
= 0
ce qui donne

 
 
a =
1
b = −1
c =
5
2
et enfin le développement limité cherché :
f
−1
(x) = x − x
3
+
5
2
x
5
+ o(x
5
).
On aurait bien sûr également abouti en partant d’une expression générale du développement limité de f −1 :
f
−1
(x) = α + β x + γ x
2
+ δ x
3
+ ε x
4
+ ζ x
5
+ o(x
5
).
On aurait alors eu à résoudre un système de six équations à six inconnues et on
aurait bien trouvé :
(α,β,γ,δ,ε,ζ) = (0,1,0,−1,0,
5
2
).
Avoir remarqué que f −1 est impaire nous a donc épargné bien des calculs !
Ce n’est pas une astuce : lorsque l’on étudie des fonctions, que ce soit pour les tracer, déterminer un développement limité, tracer une courbe paramétrée ou calculer
une intégrale, il est toujours profitable d’étudier les propriétés de symétrie ou
de périodicité.
Dans le cas d’un développement limité en 0, c’est la notion de parité qui permet de
diviser par deux le nombre de coefficients à déterminer.
Exercice 7.13 : Développement limité et convexité (sauf PTSI)
Soit f : R → R une application deux fois dérivable.
On suppose que :
∀(x,y) ∈ R
2
, f (x + y) f (x − y) f (x)
2
.
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Partie 2 • Analyse
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