2. f −1 étant de classe C ∞ elle possède des développements limités en tout point à
tout ordre.
f étant impaire, f −1 aussi : son développement limité à l’ordre 5 en 0 est donc de la
forme f −1 (x) = ax + bx 3 + cx 5 + o(x 5 ) .
On sait que, pour tout réel x, f −1 ( f (x)) = x : autrement dit, on connaît le développement limité à l’ordre 5 de f −1 ◦ f en 0. Il ne nous reste plus qu’à le calculer à
l’aide des formules précédentes puis à identifier les coefficients.
Le développement limité à l’ordre 5 en 0 de la fonction exponentielle est
e
x
= 1 + x +
1
2
x
2
+
1
6
x
3
+
1
24
x
4
+
1
120
x
5
+ o(x
5
)
d’où
e
x 2 = 1 + x
2
+
1
2
x
4
+ o(x
5
)
et enfin :
f (x) = x + x
3
+
1
2
x
5
+ o(x
5
).
On en déduit successivement :
f (x) 2 = x 2 + 2x 4 + o(x 5 )
f (x) 3 = x 3 + 3x 5 + o(x 5 )
f (x) 4 = x 4 + o(x 5 )
f (x) 5 = x 5 + o(x 5 )
d’où le développement limité à l’ordre 5 en 0 de f −1 ( f (x)) :
f −1 ( f (x)) = a(x + x
3
+
1
2
x
5
) + b(x
3
+ 3x
5
) + cx
5
+ o(x
5
)
= ax + (a + b)x
3
+ (
a
2
+ c + 3b)x
5
+ o(x
5
).
Vous avez peut-être vu en cours des procédés pour calculer plus rapidement un
développement limité de fonction composée ; aucune méthode de ce type n’est
exigible et il faut, avant de s’y intéresser, être sûr de bien maîtriser la méthode
générale que nous venons de revoir sur deux exemples (le développement limité
de e x 2 à partir de celui de e x et celui de f −1 ◦ f).
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
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Chapitre 7 • Dérivation, développements limités
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