Bien que l’on ne puisse pas déterminer une expression explicite simple de f −1 nous
allons cependant en déterminer un développement limité en 0 ; autrement dit, nous
nous intéressons ici au comportement de f −1 en 0 tout en sachant que l’on n’a pas
de formule explicite.
1. Rappelons le théorème de régularité des fonctions réciproques :
si f est une bijection de classe C n (avec n ∈ N ∗ ou n = ∞) d’un intervalle I dans un
intervalle J et que sa dérivée f ne s’annule pas sur I alors sa bijection réciproque
f −1 est elle aussi de classe C n .
Notons que l’on n’impose aucune condition de non-annulation sur les dérivées
d’ordres supérieurs : seule f intervient dans l’hypothèse.
f est dérivable sur R et :
∀x ∈ R, f
(x) = (1 + 2x
2
)e
x 2 > 0.
f est donc strictement croissante sur R.
De plus, d’après les limites usuelles du cours :
lim
x→+∞
f (x) = +∞ et
lim
x→−∞
f (x) = −∞.
Ainsi, f réalise une bijection de R dans lui-même.
De plus, f est de classe C ∞ et sa dérivée ne s’annule pas : sa réciproque est
donc elle aussi de classe C ∞ .
La représentation graphique de f a l’allure suivante :
172
Partie 2 • Analyse
0
0
1
1
– 1
– 1
– 2
– 3
– 4
2
3
4
y = f (x) = xe x 2
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