On connaît le développement limité suivant quand u tend vers 0 :
√
1 + u = 1 +
1
2
u + o(u)
d’où, en posant u = bh 2 qui tend bien vers 0 quand h tend vers 0, le développement limité suivant quand h tend vers 0 :
1 + bh 2 = 1 +
1
2
bh
2
+ o(h
2
)
et, de même :
1 + ah 2 = 1 +
1
2
ah
2
+ o(h
2
).
En soustrayant ces deux résultats il vient
1 + bh 2 −
1 + ah 2 =
b − a
2
h
2
+ o(h
2
)
et enfin, en divisant par h :
1
h
(
1 + bh 2 −
1 + ah 2 ) =
b − a
2
h + o(h)
∼
b − a
2
h.
En revenant à x = 1/ h on obtient l’équivalent cherché :
f (x) ∼
b − a
2x
quand x tend vers + ∞.
On en déduit que α = 1 et :
lim
x→+∞
x f (x) =
b − a
2
= / 0.
Exercice 7.12 : Développement limité d’une fonction réciproque
Pour x ∈ R on pose f (x) = xe x 2 .
1. Montrer que f est une bijection de R dans R et que sa réciproque est de
classe C ∞ .
2. Déterminer le développement limité à l’ordre 5 de f −1 en 0.
On ne cherchera à aucun moment à déterminer explicitement f −1 .
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
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Chapitre 7 • Dérivation, développements limités
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