• on peut en déduire un équivalent de chacun puis calculer directement avec ces
équivalents puisqu’on aura alors un quotient et un produit.
Évidemment, rien n’interdit de manipuler des développements limités de bout en
bout mais nous adopterons ici le point de vue des équivalents quand cela est possible.
1. Il faut avant tout décider de l’ordre auquel on poussera les développements limités.
On sait que sh(x) et sin(x) ont tous deux pour premier terme x ; pour obtenir un
développement limité intéressant de leur différence il faudra aller à un ordre qui fera
apparaître au moins un terme en plus, donc au moins à l’ordre 3 vu que leurs termes
d’ordre 2 sont nuls.
La même remarque s’applique à ch(x) et cos(x) .
Au pire, si l’on avait oublié cette discussion, on aurait obtenu ch(x) − cos(x)
= o(x 2 ) et sh(x) − sin(x) = o(x 2 ), ce qui est à la fois parfaitement vrai et complètement inutile pour répondre à la question.
Quand ceci vous arrive, rien n’est perdu : il suffit de tout recommencer mais en
allant à un ordre supérieur dans les développements limités de départ.
D’après les formules usuelles du cours on a les développements limités à
l’ordre 3 en 0 :
ch(x) − cos(x) = x
2
+ o(x
3
)
sh(x) − sin(x) =
1
3
x
3
+ o(x
3
)
ce qui fournit les équivalents en 0 :
ch(x) − cos(x) ∼ x
2 et sh(x) − sin(x) ∼
1
3
x
3
soit enfin :
x
ch(x) − cos(x)
sh(x) − sin(x)
∼ x
x 2
x 3 /3
d’où la limite cherchée :
lim
x→0
x
ch(x) − cos(x)
sh(x) − sin(x)
= 3.
2. Comme d’habitude, on se ramène à une limite en 0 en posant h = x − 1.
Cependant, tout n’est pas réglé : on fait ainsi apparaître tan(π/2 + πh/2) qui
diverge quand h tend vers 0.
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
169
Chapitre 7 • Dérivation, développements limités
9782100547678-Fresl-C7.qxd 5/07/10 9:22 Page 169