Exercice 7.11 : Formes indéterminées
1. Calculer la limite suivante :
lim
x→0
x
ch(x) − cos(x)
sh(x) − sin(x)
.
2. Calculer la limite suivante :
lim
x→1
(x
2
+ x − 2)tan(πx/2)
.
3. Soient a et b deux réels distincts. Déterminer un équivalent quand x tend vers
+∞ de
f (x) =
x 2 + b −
x 2 + a
puis un réel α tel que x α f (x) possède une limite finie non nulle, que l’on calculera, quand x tend vers +∞.
Il y a ici trois types de formes indéterminées :
• dans la première, x tend vers 0, ce qui permet d’utiliser les développements limités en 0 connus des fonctions usuelles ;
• dans la deuxième, x tend vers 1 : on posera donc h = x − 1 et on essaiera de faire
apparaître des développements limités connus quand h tend vers 0 ;
• dans la troisième, x tend vers +∞ : on posera donc h =
1
x
pour se ramener à des
développements limités quand h tend vers 0.
Enfin, rappelons qu’une fonction est équivalente en 0 au premier terme non nul de
son développement limité : comme l’exercice demande de calculer de simples
limites, et non des développements limités à des ordres plus ou moins grands, on
pourra simplifier les expressions obtenues avec des équivalents.
Par exemple, comme tan(u) = u + o(u) quand u tend vers 0, on pourra simplement
écrire tan(u) ∼ u.
La rédaction avec des équivalents peut être dangereuse car il n’y a aucune règle
générale simple pour les additionner ou les composer. Cependant, on peut multiplier ou diviser des équivalents.
Ainsi, si l’on considère par exemple la première question :
• il faut utiliser des développements limités pour étudier séparément le numérateur
et le dénominateur, car ils contiennent une différence ;
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Partie 2 • Analyse
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