d’où, en multipliant par
√
2 :
√
2 + h =
√
2 +
√
2
4
h −
√
2
32
h
2
+ o(h
2
).
En revenant à x on a le développement limité quand x tend vers 2 :
√
x =
√
2 +
√
2
4
(x − 2) −
√
2
32
(x − 2)
2
+ o((x − 2)
2
).
5. La situation est analogue : nous poserons h = x − π/4 pour faire apparaître le
développement limité quand h tend vers 0 de tan(h + π/4) .
Pour se ramener à des formules connues de développements limités en 0 on peut
utiliser la trigonométrie : ainsi on fera apparaître des termes en tan(h).
Posons h = x − π/4 : on cherche alors le développement limité quand h
tend vers 0 de tan(h + π/4) .
Or, d’après les formules de trigonométrie usuelles :
tan(h + π/4) =
tan(h) + tan(π/4)
1 − tan(h)tan(π/4)
=
1 + tan(h)
1 − tan(h)
.
Toujours d’après les formules du cours on sait que tan(h) = h + o(h 2 ). On
a donc :
1 + tan(h) = 1 + h + o(h
2
) et 1 − tan(h) = 1 − h + o(h
2
).
On en déduit :
1
1 − tan(h)
= 1 + h + h
2
+ o(h
2
)
et enfin
1 + tan(h)
1 − tan(h)
= 1 + 2h + 2h
2
+ o(h
2
)
soit, en revenant à x, le développement limité quand x tend vers π/4 :
tan(x) = 1 + 2(x − π/4) + 2(x − π/4)
2
+ o((x − π/4)
2
)
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
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Chapitre 7 • Dérivation, développements limités
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