Afin de s’y ramener posons une nouvelle variable h qui tend vers 0 quand x tend
vers 2 ; il n’y aura alors plus qu’à essayer de faire apparaître des expressions
connues de développements limités en 0.
Cette démarche doit être systématiquement effectuée.
Posons h = x − 2. On a alors
√
x =
√
2 + h dont on cherche le développement
limité quand h tend vers 0.
Il ne nous reste plus qu’à faire apparaître une expression de la forme
√
1 + u avec
u tendant vers 0 pour pouvoir calculer le développement limité demandé par une
composition. Pour cela, on peut factoriser 2 et prendre u = h/2.
Nous avons ici plusieurs développements limités, mais tous ne sont pas considérés au même point selon que l’on manipule x, u ou h .
Il faut donc, d’une manière ou d’une autre, préciser ceci. Soit on l’indique dans la
notation o, par exemple o x→2 ((x − 2)
4
) , soit on conserve pour ne pas l’alourdir
la notation o((x − 2) 4 ) mais en précisant avant en toutes lettres que l’on considère
la situation où x tend vers 2.
Posons h = x − 2. Alors
√
x =
√
2 + h . De plus :
√
2 + h =
√
2
1 +
h
2
et on cherche le développement limité de ceci quand h tend vers 0 car x
tend vers 2 et h = x − 2.
Or on a le développement limité quand u tend vers 0 :
√
1 + u = 1 +
1
2
u −
1
8
u
2
+ o(u
2
)
Il faut maintenant remplacer u par h/2 dans cette expression. Notez que c’est une
composée, mais particulièrement simple : il n’y a pas de o dans l’expression de u
en fonction de h.
Comme
h
2
tend vers 0 on peut remplacer u par
h
2
dans le développement
limité précédent et on obtient le développement limité quand h tend vers 0 :
1 +
h
2
= 1 +
1
4
h −
1
32
h
2
+ o(h
2
).
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Partie 2 • Analyse
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