3. Le calcul du développement limité d’un quotient se ramène à celui d’une composée avec la fonction f : x →
1
1 + x
.
Comme cos(0) = 1, il suffit de poser u(x) = cos(x) − 1 . Alors cos(x) = 1 + u(x)
et u(0) = 0. On peut donc voir la fonction cosinus comme la composée f ◦ u : il n’y
a plus qu’à composer deux développements limités en 0 en suivant exactement la
même démarche que dans la question précédente.
Posons f (x) =
1
1 + x
et u(x) = cos(x) − 1 . Alors
1
cos(x)
= f (u(x)).
D’autre part, on a les développements limités en 0 :
cos(x) = 1 −
1
2
x
2
+
1
24
x
4
+ o(x
4
)
donc
u(x) = −
1
2
x
2
+
1
24
x
4
+ o(x
4
)
et également
f (x) = 1 − x + x
2
− x
3
+ x
4
+ o(x
4
).
Les développements limités des puissances de u sont :
u 2 (x) =
1
4
x
4
+ o(x
4
)
u 3 (x) = o(x 4 )
u 4 (x) = o(x 4 )
d’où l’on tire
f (u(x)) = 1 −
−
1
2
x
2
+
1
24
x
4
+
1
4
x
4
+ o(x
4
)
soit finalement
1
cos(x)
= 1 +
1
2
x
2
+
5
24
x
4
+ o(x
4
).
4. On connaît le développement limité de
√
1 + x quand x tend vers 0 ou, ce qui est
la même chose, celui de
√
x quand x tend vers 1. Autrement dit, nous ne sommes
pas dans un cas relevant directement du cours.
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
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Chapitre 7 • Dérivation, développements limités
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