2. Comme sin(0) = 0, nous avons une composition de développements limités en
0.
Le principe général est le même : on doit commencer par expliciter les développements limités en 0 des fonctions sinus et cosinus à l’ordre demandé (ici 4) puis
composer les parties régulières en supprimant systématiquement tout terme dont le
degré excède 4.
Rappelons que
cos(x) = 1 −
1
2
x
2
+
1
24
x
4
+ o(x
4
).
Autrement dit, dans la composition, il faudra faire intervenir le carré et la puissance 4 de la partie régulière du développement limité de la fonction sinus en 0.
Pour faire ceci efficacement, nous allons calculer de proche en proche les développements limités des puissances de sinus en effectuant à chaque étape les simplifications : nous verrons que plus la puissance est grande plus les calculs sont
simples car il y aura de plus en plus de termes simplifiés !
Pour finir, on remplace dans le développement limité du cosinus le terme en x 2 par
la partie régulière de sin
2
(x) et le terme en x 4 par celle de sin
4
(x).
Tous les termes qui ont pu être oubliés à un moment ou un autre parce que leur
degré était supérieur à 4 sont alors en fait « cachés » dans le terme o(x 4 ).
D’une part, d’après le cours :
cos(x) = 1 −
1
2
x
2
+
1
24
x
4
+ o(x
4
).
De plus, on a successivement :
sin(x) = x −
1
6
x
3
+ o(x
4
)
sin
2
(x) = x
2
−
1
3
x
4
+ o(x
4
)
sin
3
(x) = x
3
+ o(x
4
)
sin
4
(x) = x
4
+ o(x
4
).
Ainsi, le développement limité composé s’écrit
cos(sin(x)) = 1 −
1
2
x
2
−
1
3
x
4
+
1
24
x
4
+ o(x
4
)
soit, toutes simplifications effectuées :
cos(sin(x)) = 1 −
1
2
x
2
+
5
24
x
4
+ o(x
4
)
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Partie 2 • Analyse
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