ch(x) = 1 +
1
2
x
2
+
1
24
x
4
+ o(x
4
)
cos(x) = 1 −
1
2
x
2
+
1
24
x
4
+ o(x
4
)
sh(x) = x +
1
6
x
3
+ o(x
4
)
sin(x) = x −
1
6
x
3
+ o(x
4
)
Pour calculer les développements limités des produits, il suffit de calculer les produits des parties régulières (i.e. la partie polynomiale, sans le o) en omettant les
termes dont le degré excède 4.
Plus précisément, pour le produit ch(x)cos(x) on a :
1 +
1
2
x
2
+
1
24
x
4
1 −
1
2
x
2
+
1
24
x
4
= 1 −
1
6
x
4
+ termes de degrés > 4.
De même, pour le produit sh(x)sin(x) :
x +
1
6
x
3
x −
1
6
x
3
= x
2
+ termes de degrés > 4.
La notation de Landau, i.e. avec o, sert précisément à écrire ceci rigoureusement :
tout terme de degré strictement supérieur à 4 est « absorbé » par le terme o(x 4 ).
Autrement dit, on peut rédiger comme suit :
En utilisant les développements limités usuels on obtient
ch(x)cos(x) = 1 −
1
6
x
4
+ o(x
4
)
et
sh(x)sin(x) = x
2
+ o(x
4
).
Notez que l’on ne calcule surtout pas l’intégralité des produits ! On sait que les
termes de degré strictement supérieur à 4 n’apparaîtront pas dans le résultat et on
ne prend donc même pas la peine de les expliciter dans les calculs intermédiaires.
Ceci permet de calculer efficacement, i.e. rapidement et sans risque d’erreur.
Enfin, il n’y a plus qu’à additionner pour obtenir le résultat.
Ainsi :
ch(x)cos(x) + sh(x)sin(x) = 1 + x
2
−
1
6
x
4
+ o(x
4
).
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
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Chapitre 7 • Dérivation, développements limités
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