et que, d’autre part :
1
n
n
k=1
ln
1 + e
x k
= ln
n
n
k=1
(1 + e x k )
.
La fonction exp étant croissante, on en déduit :
1 +
n
n
k=1
e x k
n
n
k=1
(1 + e x k ).
Ainsi, si tous les b k sont égaux à 1 on obtient, avec x k = ln(a k ) :
1 +
n
n
k=1
a k
n
n
k=1
(1 + a k ).
Revenons au cas général où les b k sont strictements positifs quelconques.
On peut appliquer la précédente inégalité au n-uplet (a 1 /b 1 ,. . . ,a n /b n ) , ce
qui donne :
1 +
n
n
k=1
a k
b k
n
n
k=1
1 +
a k
b k
soit, en multipliant par
n
n
k=1
b k :
n
n
k=1
a k +
n
n
k=1
b k
n
n
k=1
(a k + b k ).
Exercice 7.10 : Développements limités
1. Calculer le développement limité à l’ordre 4 en 0 de ch(x)cos(x)
+ sh(x)sin(x).
2. Calculer le développement limité à l’ordre 4 en 0 de cos(sin(x)) .
3. Calculer le développement limité à l’ordre 4 en 0 de
1
cos(x)
.
4. Calculer le développement limité à l’ordre 2 en 2 de
√
x .
5. Calculer le développement limité à l’ordre 2 en π/4 de tan(x).
1. La première chose à faire est d’écrire les développements limités à l’ordre 4 en
0 de toutes les fonctions usuelles intervenant dans l’expression considérée. Ces
développements limités doivent être connus par cœur.
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Partie 2 • Analyse
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