2.b. Suivons l’indication de l’énoncé : pour étudier la monotonie de
x → f (x) − x nous allons essayer de faire apparaître un quotient de la forme
f (x) − f (a)
x − a
car on sait, f étant convexe, que cette expression croît avec x et que de
plus, d’après la question précédente, elle tend vers quand x tend vers +∞.
Il n’y a pas d’hypothèse de dérivabilité, on ne peut donc pas dériver pour étudier
la monotonie !
Pour x ∈ I posons g(x) = f (x) − x .
Fixons un élément a de I et étudions le signe de g(x) − g(a) en fonction
de celui de x − a.
On a : g(x) − g(a) = ( f (x) − f (a)) − (x − a) .
Pour x = / a on a donc g(x) − g(a) = (x − a)
f (x) − f (a)
x − a
−
: il
reste désormais à déterminer le signe de
f (x) − f (a)
x − a
− .
À la question précédente on a montré que
f (x) − f (a)
x − a
était une fonction
croissante de x tendant vers en +∞.
D’après le théorème de la limite monotone, cette limite est la borne supérieure de la fonction x →
f (x) − f (a)
x − a
.
Ainsi : pour tout x ∈ I,
f (x) − f (a)
x − a
.
Ainsi, g(x) − g(a) est du signe opposé à celui de x − a : la fonction g est
donc décroissante sur I.
D’après le théorème de la limite monotone, elle possède donc une limite en
+∞ qui est finie ou −∞.
Exercice 7.9 : Inégalités de convexité (sauf PTSI)
Les deux questions sont indépendantes.
1. Soient un entier n 2 et (a 1 ,. . . ,a n ) ∈ (R ∗
+ ) n . Montrer que :
n
√
a 1 · · · a n
1
n
(a 1 + · · · + a n ).
2. Pour x ∈ R on pose f (x) = ln(1 + e x ).
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
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Chapitre 7 • Dérivation, développements limités
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