Montrer que f est convexe sur R ; en déduire que, pour tous n-uplets (a 1 ,. . . ,a n )
et (b 1 ,. . . ,b n ) de réels strictement positifs :
n
n
k=1
a k +
n
n
k=1
b k
n
n
k=1
(a k + b k ).
On pourra commencer par traiter le cas particulier b 1 = · · · = b n = 1.
Rappelons les inégalités de convexité : si f est une fonction convexe sur un intervalle I, (a,b) ∈ I 2 et λ ∈ [0,1], f (λa + (1 − λ)b) λ f (a) + (1 − λ) f (b) .
On dispose de la généralisation suivante, également appelée inégalité de Jensen : si
x 1 ,. . . ,x n sont des éléments de I et λ 1 ,. . . ,λ n des réels positifs tels que
λ 1 + . . . + λ n = 1 alors
f
n
k=1
λ k x k
n
k=1
λ k f (x k ).
Elle est presque toujours utilisée dans le cas où tous les λ k sont égaux à
1
n
, soit :
f
1
n
n
k=1
x k
1
n
n
k=1
f (x k ).
De plus, la fonction exponentielle permet de passer des sommes aux produits et de
transformer le facteur 1/n en racine n-ième, ce qui permettra d’obtenir les formes
des résultats donnés dans l’énoncé.
1. Nous allons commencer par utiliser la convexité de l’exponentielle en écrivant
l’inégalité de Jensen pour cette fonction : comme nous venons de le voir ce sera un
bon moyen pour faire apparaître à terme des racines n-ièmes.
La fonction exponentielle est convexe sur R.
Ainsi, en appliquant l’inégalité de Jensen avec λ 1 = · · · = λ n =
1
n
et
x 1 ,. . . ,x n des réels quelconques :
exp
1
n
n
k=1
x k
1
n
n
k=1
e
x k .
Notons que
exp
1
n
n
k=1
x k
=
n
n
k=1
e x k
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Partie 2 • Analyse
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