Pour rédiger correctement ceci nous pouvons affiner ce qui précède : non seulement
le théorème de la limite monotone montre l’existence de limites mais il fournit
encore l’expression abstraite de cette limite avec une borne supérieure ou inférieure.
Nous aurons ainsi utilisé toute la conclusion du théorème.
p étant croissante, lim
x→−∞
p(x) (resp. lim
x→+∞
p(x)) est la borne inférieure
(resp. supérieure) de p sur R ∗ .
En particulier, pour tout réel non nul t :
lim
x→−∞
p(x) p(t) lim
x→+∞
p(x).
Les inégalités précédemment obtenues sur ces limites montrent que
0 p(t) 0 , i.e. p(t) = 0 : on a donc, pour tout réel non nul t,
f (t) = f (0), donc f est constante.
Si on remplace R par R + le résultat est faux comme on le voit en considérant la
fonction définie par f (x) = e −x : elle est convexe (car f = f est positive) et majorée sur R + (par 1) mais n’est pas constante.
Plus précisément, seule la première partie du raisonnement précédent reste valable
(on peut considérer des limites en +∞ mais pas en −∞).
On peut toujours affirmer que la fonction p est négative mais faute d’un autre encadrement elle n’est plus nécessairement nulle.
2.a. L’expression
f (x)
x
suggère d’utiliser la fonction « pente de la sécante » d’origine 0 mais 0 n’a aucune raison d’appartenir à I…
Nous pouvons néanmoins conserver l’idée de la fonction pente : nous allons
d’abord considérer une fonction pente d’origine a ∈ I puis faire apparaître le rapport
f (x)
x
.
Soit a ∈ I et p : I \ {a} → R,x →
f (x) − f (a)
x − a
.
f étant convexe, p est croissante.
D’après le théorème de la limite monotone, p possède donc une limite, éventuellement +∞, en +∞.
D’autre part :
f (x)
x
=
(x − a) p(x) + f (a)
x
=
1 −
a
x
p(x) +
f (a)
x
.
Comme lim
x→+∞
a
x
= lim
x→+∞
f (a)
x
= 0 on en déduit que
f (x)
x
possède une
limite en +∞ égale à lim
x→+∞
p(x) ; cette limite est donc finie ou +∞.
158
Partie 2 • Analyse
9782100547678-Fresl-C7.qxd 5/07/10 9:22 Page 158
le théorème de la limite monotone montre l’existence de limites mais il fournit
encore l’expression abstraite de cette limite avec une borne supérieure ou inférieure.
Nous aurons ainsi utilisé toute la conclusion du théorème.
p étant croissante, lim
x→−∞
p(x) (resp. lim
x→+∞
p(x)) est la borne inférieure
(resp. supérieure) de p sur R ∗ .
En particulier, pour tout réel non nul t :
lim
x→−∞
p(x) p(t) lim
x→+∞
p(x).
Les inégalités précédemment obtenues sur ces limites montrent que
0 p(t) 0 , i.e. p(t) = 0 : on a donc, pour tout réel non nul t,
f (t) = f (0), donc f est constante.
Si on remplace R par R + le résultat est faux comme on le voit en considérant la
fonction définie par f (x) = e −x : elle est convexe (car f = f est positive) et majorée sur R + (par 1) mais n’est pas constante.
Plus précisément, seule la première partie du raisonnement précédent reste valable
(on peut considérer des limites en +∞ mais pas en −∞).
On peut toujours affirmer que la fonction p est négative mais faute d’un autre encadrement elle n’est plus nécessairement nulle.
2.a. L’expression
f (x)
x
suggère d’utiliser la fonction « pente de la sécante » d’origine 0 mais 0 n’a aucune raison d’appartenir à I…
Nous pouvons néanmoins conserver l’idée de la fonction pente : nous allons
d’abord considérer une fonction pente d’origine a ∈ I puis faire apparaître le rapport
f (x)
x
.
Soit a ∈ I et p : I \ {a} → R,x →
f (x) − f (a)
x − a
.
f étant convexe, p est croissante.
D’après le théorème de la limite monotone, p possède donc une limite, éventuellement +∞, en +∞.
D’autre part :
f (x)
x
=
(x − a) p(x) + f (a)
x
=
1 −
a
x
p(x) +
f (a)
x
.
Comme lim
x→+∞
a
x
= lim
x→+∞
f (a)
x
= 0 on en déduit que
f (x)
x
possède une
limite en +∞ égale à lim
x→+∞
p(x) ; cette limite est donc finie ou +∞.
158
Partie 2 • Analyse
9782100547678-Fresl-C7.qxd 5/07/10 9:22 Page 158