2.a. Soit f une application convexe sur un intervalle non majoré I. Montrer que
f (x)
x
possède une limite, finie ou +∞, quand x tend vers +∞.
2.b. Dans le cas où cette limite est un réel , montrer que f (x) − x possède une
limite, finie ou −∞, quand x tend vers +∞.
Pour cela, on pourra étudier la monotonie de l’application qui, à x ∈ I, associe
f (x) − x.
Il est ici question de fonctions convexes mais il n’y a pas d’hypothèse de dérivabilité. Les outils adaptés sont donc les fonctions « pentes des sécantes », ce que
laisse également penser la présence de
f (x)
x
dans la question 2.a.
1. Afin de débuter, nous pouvons faire intervenir les fonctions pentes de deux
façons : tout d’abord, nous savons qu’elles sont croissantes car f est convexe ;
ensuite, f étant majorée, on peut en déduire une inégalité vérifiée par ces fonctions.
Les différentes théorèmes liant limite et monotonie permettront de conclure.
Plutôt que de considérer une fonction pente arbitraire nous considérerons la fonction pente en 0 (qui à x associe ( f (x) − f (0))/x) afin d’alléger les calculs.
Soit M un majorant de f sur R.
f étant convexe, l’application p : R
∗
→ R,x →
f (x) − f (0)
x
, est croissante.
Pour x > 0 on a p(x)
M − f (0)
x
.
p étant croissante, elle possède une limite (éventuellement +∞) en +∞.
En passant à la limite dans l’inégalité précédente on obtient
lim
x→+∞
p(x) 0, ce qui montre que cette limite est finie et négative.
Pour x < 0 on a p(x)
M − f (0)
x
; de la même manière, p possède une
limite (éventuellement −∞) en −∞ et le passage à la limite donne
lim
x→−∞
p(x) 0, ce qui montre que cette limite est finie et positive.
Nous avons ainsi bien utilisé toutes les hypothèses : f est convexe (croissance de p),
f est majorée (par M) mais également le fait que ces propriétés sont vraies sur R tout
entier puisqu’on a considéré des limites en ±∞.
Nous avons ainsi montré que p est croissante sur R et que sa limite en −∞ est supérieure ou égale à sa limite en +∞ ! Ceci n’est possible que dans une situation : si
p est constante.
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
157
Chapitre 7 • Dérivation, développements limités
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f (x)
x
possède une limite, finie ou +∞, quand x tend vers +∞.
2.b. Dans le cas où cette limite est un réel , montrer que f (x) − x possède une
limite, finie ou −∞, quand x tend vers +∞.
Pour cela, on pourra étudier la monotonie de l’application qui, à x ∈ I, associe
f (x) − x.
Il est ici question de fonctions convexes mais il n’y a pas d’hypothèse de dérivabilité. Les outils adaptés sont donc les fonctions « pentes des sécantes », ce que
laisse également penser la présence de
f (x)
x
dans la question 2.a.
1. Afin de débuter, nous pouvons faire intervenir les fonctions pentes de deux
façons : tout d’abord, nous savons qu’elles sont croissantes car f est convexe ;
ensuite, f étant majorée, on peut en déduire une inégalité vérifiée par ces fonctions.
Les différentes théorèmes liant limite et monotonie permettront de conclure.
Plutôt que de considérer une fonction pente arbitraire nous considérerons la fonction pente en 0 (qui à x associe ( f (x) − f (0))/x) afin d’alléger les calculs.
Soit M un majorant de f sur R.
f étant convexe, l’application p : R
∗
→ R,x →
f (x) − f (0)
x
, est croissante.
Pour x > 0 on a p(x)
M − f (0)
x
.
p étant croissante, elle possède une limite (éventuellement +∞) en +∞.
En passant à la limite dans l’inégalité précédente on obtient
lim
x→+∞
p(x) 0, ce qui montre que cette limite est finie et négative.
Pour x < 0 on a p(x)
M − f (0)
x
; de la même manière, p possède une
limite (éventuellement −∞) en −∞ et le passage à la limite donne
lim
x→−∞
p(x) 0, ce qui montre que cette limite est finie et positive.
Nous avons ainsi bien utilisé toutes les hypothèses : f est convexe (croissance de p),
f est majorée (par M) mais également le fait que ces propriétés sont vraies sur R tout
entier puisqu’on a considéré des limites en ±∞.
Nous avons ainsi montré que p est croissante sur R et que sa limite en −∞ est supérieure ou égale à sa limite en +∞ ! Ceci n’est possible que dans une situation : si
p est constante.
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
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