Par définition de f on a donc :
λ
2
= a
(λ + 1)µ = b
Nous pouvons alors distinguer deux cas :
• si λ =
√
a alors µ =
b
1 +
√
a
;
• si λ = −
√
a alors µ =
b
1 −
√
a
(ce dernier calcul est licite car
1 −
√
a) = / 0).
Il est aisé de vérifier que les deux applications
x → x
√
a +
b
1 +
√
a
et
x → −x
√
a +
b
1 −
√
a
conviennent bien.
4. En reprenant la démarche et les notations précédentes, la suite (v n ) n∈N est géométrique de raison a > 1 d’où lim
n→∞
u n = +∞ : le raisonnement ci-dessus ne peut
alors plus être poursuivi.
On peut néanmoins tenter de s’y ramener en faisant intervenir la réciproque de l’application affine x → ax + b, qui est x → (x − b)/a.
Supposons a > 1. On a alors, comme précédemment :
∀x ∈ R, f (x) = f (ax + b)
soit, en remplaçant x par
x − b
a
:
f (x) = f
x
a
−
b
a
.
On peut donc appliquer le résultat précédent en remplaçant b par −
b
a
et a
par
1
a
∈]0,1[ : la fonction f est donc affine.
Le calcul de la question reste valable et les fonctions convenant sont définies par les mêmes expressions.
Exercice 7.8 : Fonctions convexes (sauf PTSI)
Les deux questions sont indépendantes.
1. Soit f une application convexe et majorée sur R. Montrer que f est constante.
Montrer que ceci n’est pas forcément le cas pour une fonction convexe et majorée sur R + .
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Partie 2 • Analyse
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