Ainsi, la suite de terme général v n = u n − est géométrique de raison
a ∈]0,1[ : elle est donc convergente de limite nulle, ce qui montre que
lim
n→∞
u n = .
3. Les deux premières questions n’avaient aucun rapport entre elles, il est temps
d’utiliser leurs résultats respectifs.
Le lien est donné par la relation vérifiée par f : en effet, si (u n ) n∈N est une suite telle
comme dans la deuxième question, on a, pour tout entier naturel n,
f (u n+1 ) = f (u n ). De plus, (u n ) n∈N converge et f est continue donc nous allons
pouvoir utiliser la caractérisation séquentielle de la continuité.
Soit x ∈ R et (u n ) n∈N la suite réelle définie par u 0 = x et, pour n ∈ N,
u n+1 = a u n + b.
Le résultat de la première question montre que :
∀n ∈ N, f
(u n+1 ) = f
(u n ).
La suite de terme général f (u n ) est donc constante et, en particulier :
∀n ∈ N, f
(u n ) = f
(u 0 ).
Or f est continue et lim
n→∞
u n = donc, en faisant tendre n vers +∞ :
f
(() = f
(u 0 ) = f
(x).
Le réel x ayant été choisi arbitrairement on a donc la propriété :
∀x ∈ R, f
(x) = f
(().
Autrement dit, f est constante.
f étant constante, f est affine (i.e. une fonction polynomiale de degré inférieur ou
égal à 1). On peut déterminer ses coefficients en reportant son expression dans la
relation vérifée par f ◦ f.
Nous aurons ainsi obtenu une condition nécessaire sur l’expression de f : si f est
solution du problème alors f est de la forme… Il restera à vérifier que les fonctions obtenues conviennent bien (ou, si besoin, éliminer les solutions parasites).
f est donc affine : il existe deux réels λ et µ tels que :
∀x ∈ R, f (x) = λx + µ.
On en déduit :
∀x ∈ R, f ( f (x)) = λ
2 x + (λ + 1)µ.
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
155
Chapitre 7 • Dérivation, développements limités
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a ∈]0,1[ : elle est donc convergente de limite nulle, ce qui montre que
lim
n→∞
u n = .
3. Les deux premières questions n’avaient aucun rapport entre elles, il est temps
d’utiliser leurs résultats respectifs.
Le lien est donné par la relation vérifiée par f : en effet, si (u n ) n∈N est une suite telle
comme dans la deuxième question, on a, pour tout entier naturel n,
f (u n+1 ) = f (u n ). De plus, (u n ) n∈N converge et f est continue donc nous allons
pouvoir utiliser la caractérisation séquentielle de la continuité.
Soit x ∈ R et (u n ) n∈N la suite réelle définie par u 0 = x et, pour n ∈ N,
u n+1 = a u n + b.
Le résultat de la première question montre que :
∀n ∈ N, f
(u n+1 ) = f
(u n ).
La suite de terme général f (u n ) est donc constante et, en particulier :
∀n ∈ N, f
(u n ) = f
(u 0 ).
Or f est continue et lim
n→∞
u n = donc, en faisant tendre n vers +∞ :
f
(() = f
(u 0 ) = f
(x).
Le réel x ayant été choisi arbitrairement on a donc la propriété :
∀x ∈ R, f
(x) = f
(().
Autrement dit, f est constante.
f étant constante, f est affine (i.e. une fonction polynomiale de degré inférieur ou
égal à 1). On peut déterminer ses coefficients en reportant son expression dans la
relation vérifée par f ◦ f.
Nous aurons ainsi obtenu une condition nécessaire sur l’expression de f : si f est
solution du problème alors f est de la forme… Il restera à vérifier que les fonctions obtenues conviennent bien (ou, si besoin, éliminer les solutions parasites).
f est donc affine : il existe deux réels λ et µ tels que :
∀x ∈ R, f (x) = λx + µ.
On en déduit :
∀x ∈ R, f ( f (x)) = λ
2 x + (λ + 1)µ.
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