1. Pour faire apparaître a f (x) + b il suffit de remplacer x par f (x) dans la relation
donnée : puisqu’elle est vraie pour tout réel x elle est aussi vraie pour tous les réels
de la forme f (x).
La relation vérifiée par f donne, quand on remplace x par f (x) :
f ( f ( f (x))) = a f (x) + b.
Si, au lieu de faire ceci, on avait appliqué la fonction f aux deux membres
de l’égalité, on aurait obtenu :
f ( f ( f (x))) = f (a x + b).
On a donc montré la propriété :
∀x ∈ R, f (a x + b) = a f (x) + b.
Plus abstraitement, il y a deux façons de voir f ◦ f ◦ f : dire que c’est ( f ◦ f ) ◦ f
(c’est la première relation obtenue) ou encore f ◦ ( f ◦ f ) (deuxième relation).
La clef est donc en fait l’associativité de la composition des applications.
On peut enfin dériver pour obtenir la relation voulue sur f . Attention, le membre de
gauche est une fonction composée !
En dérivant cette égalité par rapport à la variable x on obtient :
∀x ∈ R,a f
(ax + b) = a f
(x).
Le réel a étant différent de 0 on en déduit :
∀x ∈ R, f
(ax + b) = f
(x).
Il faut rester vigilant et rigoureux jusqu’au bout : avant de simplifier une relation
(ici par a) il faut s’assurer que l’ on ne divise pas par 0.
2. La suite (u n ) n∈N est arithmético-géométrique : pour l’étudier, on considère la
suite auxiliaire (v n ) n∈N définie par v n = u n − c où c est la solution de l’équation
ax + b = x... qui n’est autre que .
Ne vous attendez pas à être toujours autant guidé que dans cet exercice lorsque vous
aurez à étudier de telles suites : il faut savoir poser soi-même le réel c en question
et étudier la suite.
Pour n ∈ N on a :
u n+1 − = au n + b −
b
1 − a
= au n − a
b
1 − a
= a(u n − ).
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Partie 2 • Analyse
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donnée : puisqu’elle est vraie pour tout réel x elle est aussi vraie pour tous les réels
de la forme f (x).
La relation vérifiée par f donne, quand on remplace x par f (x) :
f ( f ( f (x))) = a f (x) + b.
Si, au lieu de faire ceci, on avait appliqué la fonction f aux deux membres
de l’égalité, on aurait obtenu :
f ( f ( f (x))) = f (a x + b).
On a donc montré la propriété :
∀x ∈ R, f (a x + b) = a f (x) + b.
Plus abstraitement, il y a deux façons de voir f ◦ f ◦ f : dire que c’est ( f ◦ f ) ◦ f
(c’est la première relation obtenue) ou encore f ◦ ( f ◦ f ) (deuxième relation).
La clef est donc en fait l’associativité de la composition des applications.
On peut enfin dériver pour obtenir la relation voulue sur f . Attention, le membre de
gauche est une fonction composée !
En dérivant cette égalité par rapport à la variable x on obtient :
∀x ∈ R,a f
(ax + b) = a f
(x).
Le réel a étant différent de 0 on en déduit :
∀x ∈ R, f
(ax + b) = f
(x).
Il faut rester vigilant et rigoureux jusqu’au bout : avant de simplifier une relation
(ici par a) il faut s’assurer que l’ on ne divise pas par 0.
2. La suite (u n ) n∈N est arithmético-géométrique : pour l’étudier, on considère la
suite auxiliaire (v n ) n∈N définie par v n = u n − c où c est la solution de l’équation
ax + b = x... qui n’est autre que .
Ne vous attendez pas à être toujours autant guidé que dans cet exercice lorsque vous
aurez à étudier de telles suites : il faut savoir poser soi-même le réel c en question
et étudier la suite.
Pour n ∈ N on a :
u n+1 − = au n + b −
b
1 − a
= au n − a
b
1 − a
= a(u n − ).
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