Comme sin(1/x) est borné :
lim
x→0
x sin(1/x) = 0
et enfin g(x) = o(x 2 ) quand x tend vers 0 : ceci montre que g possède un
développement limité à l’ordre 2 en 0 (de partie régulière nulle).
Étude de l’existence de la dérivée seconde de g en 0 :
g est dérivable comme produit de fonctions dérivables et, pour tout réel x :
g
(x) = f (x) + x f
(x).
On en déduit, pour x = / 0 :
g (x) − g (0)
x − 0
=
f (x)
x
+ f
(x).
Si la dérivée seconde de g en 0 existe ce quotient tend vers g (0) quand x
tend vers 0.
Or
lim
x→0
f (x)
x
= f
(0) = 0
d’où
lim
x→0
f
(x) = 0.
Ainsi, f serait continue en 0, ce qui contredit le résultat de la première
question.
Exercice 7.7 : f ( f (x)) = ax + b
Cet exercice fait intervenir des suites arithmético-géométriques.
Soient a ∈]0,1[ et b ∈ R. Soit f une application de R dans lui-même, de classe
C 1 , telle que, pour tout réel x, f ( f (x)) = ax + b.
1. Montrer que, pour tout réel x, f (ax + b) = a f (x) + b. En déduire que, pour
réel x, f (a x + b) = f (x) .
2. Soit (u n ) n∈N une suite réelle telle que, pour tout n ∈ N, u n+1 = a u n + b.
Montrer que (u n ) n∈N est convergente de limite =
b
1 − a
.
3. Montrer que f est constante. En déduire l’expression de f.
4. Que faire si a ∈]1,+∞[ ?
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
153
Chapitre 7 • Dérivation, développements limités
9782100547678-Fresl-C7.qxd 5/07/10 9:21 Page 153