(produit d’une fonction tendant vers 0 par une fonction bornée) donc
lim
x→0
cos(1/x) = 0.
En particulier, pour tout suite (x n ) n∈N de réels non nuls tendant vers 0 :
lim
n→∞
cos(1/x n ) = 0.
Cependant, en prenant x n =
1
2nπ
, on a :
lim
n→∞
x n = 0 et lim
n→∞
cos(1/x n ) = 1.
C’est absurde : ainsi f ne tend pas vers 0 en 0.
On voit ce qui se passe en représentant graphiquement les fonctions f et f : f
« s’écrase » bien au voisinage de 0, ce qui confirme le résultat f (0) = 0, mais f
oscille violemment entre −1 et 1 et de ce fait ne converge pas en 0.
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Partie 2 • Analyse
y = f (x)
y = f '(x)
2. Pour étudier la dérivabilité de g on peut utiliser les résultats précédents : les raisonnements s’adaptent sans problème. g s’exprime en fonction de f donc g en
fonction de f et f : les résultat précédents d’existence (ou non) de limites peuvent
donc être utilisés sans avoir à refaire tous les calculs.
Développement limité à l’ordre 2 de g en 0 :
Il nous faut un o(x 2 ), i.e. une expression de la forme x 2 h(x) avec h qui tend vers
0 en 0. On remarque que la fonction g elle-même est de cette forme !
On a la factorisation :
g(x) = x 3 sin(1/x)
= x 2 × x sin(1/x).
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