1. Les théorèmes usuels sur les produits et composées de fonctions dérivables s’appliquent sans problème sur les intervalles R ∗
+ et R ∗
− ; il restera ensuite à étudier à la
main le comportement de f en 0 (limite de son taux d’accroissement pour étudier la
dérivabilité en 0 et limite de sa dérivée pour étudier la continuité de f ).
Dérivabilité sur R ∗
R ∗
Sur les intervalles R ∗
+ et R ∗
− la fonction f est le produit de la fonction
x → x 2 , qui est dérivable, et de la fonction x → sin(1/x), qui l’est aussi
comme composée de fonctions dérivables.
Ainsi, f est dérivable sur R ∗
+ et R ∗
− .
De plus, d’après les formules usuelles :
∀x ∈ R
∗
, f
(x) = 2xsin(1/x) − cos(1/x).
Dérivabilité en 0
Pour x ∈ R ∗ on a :
f (x) − f (0)
x − 0
= xsin(1/x).
Cette expression est le produit de x, qui tend vers 0 en 0, et de sin(1/x),
qui est borné : on a donc
lim
x→0
f (x) − f (0)
x − 0
= 0
ce qui montre que f est dérivable en 0 et que f (0) = 0.
Il reste donc à voir que f (x) ne tend pas vers f (0) = 0 quand x tend vers 0. Pour
cela, d’après la caractérisation séquentielle de la limite, il suffit de trouver une suite
réelle (x n ) n∈N de limite nulle telle que f (x n ) ne tende pas vers 0 quand n tend vers
+∞.
Discontinuité de f en 0
Si f était continue en 0 on aurait
lim
x→0
f
(x) = 0.
Or
lim
x→0
2x sin(1/x) = 0
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
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Chapitre 7 • Dérivation, développements limités
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