Une façon de faire est la suivante : pour construire un sous-ensemble de cardinal n
de {1,. . . ,2n}, on commence par choisir k éléments de {1,. . . ,n} puis n − k éléments de {n + 1,. . . ,2n}. Chacun de ces deux choix fera apparaître un coefficient
binomial.
Pour une valeur donnée de k entre 0 et n il y a
n
k
façons de choisir k
entiers entre 1 et n et
n
n − k
façons d’en choisir n − k entre n + 1 et 2n.
Il y a donc
n
k
n
n − k
=
n
k
2
possibilités (car
n
n − k
=
n
k
) de choisir n entiers entre 1 et 2n de sorte qu’il y en ait exactement k qui soient inférieurs ou égaux à n.
Au total, il y a donc
n
k=0
n
k
2
sous-ensembles de {1,. . . ,2n} de cardinal n.
Etant donné qu’il y en a également
2n
n
par définition même des coefficients binomiaux, nous avons bien retrouvé la relation précédente.
Exercice 7.6 : Fonctions pathologiques
1. On pose f (0) = 0 et, pour x ∈ R ∗ , f (x) = x 2 sin(1/x). Montrer que f est dérivable sur R mais pas de classe C 1 .
2. On considère la fonction g définie pour x ∈ R par g(x) = x f (x). Montrer
que g ne possède pas de dérivée seconde en 0 mais qu’elle possède néanmoins
un développement limité en 0 à l’ordre 2.
Cet exercice présente des fonctions possédant des propriétés contre-intuitives. Il est
intéressant de les avoir à l’esprit afin de ne pas inventer des théorèmes faux
comme « si f est dérivable alors f est continue » ou « f possède un développement
limité à l’ordre 2 donc est deux fois dérivable »…
Rassurez-vous : en pratique on manipule des fonctions suffisamment régulières,
bien souvent de classe C ∞ , pour lesquelles il n’y a pas de problème de ce type.
Parfois les fonctions considérées sont définies « en plusieurs morceaux », i.e. par
différentes formules comme f l’est ici par f (x) = x 2 sin(1/x) sur R ∗ et f (0) = 0. Il
faut alors soigneusement étudier leur régularité aux points de raccordement des
domaines de validité des formules (ici c’est en 0).
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Partie 2 • Analyse
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de {1,. . . ,2n}, on commence par choisir k éléments de {1,. . . ,n} puis n − k éléments de {n + 1,. . . ,2n}. Chacun de ces deux choix fera apparaître un coefficient
binomial.
Pour une valeur donnée de k entre 0 et n il y a
n
k
façons de choisir k
entiers entre 1 et n et
n
n − k
façons d’en choisir n − k entre n + 1 et 2n.
Il y a donc
n
k
n
n − k
=
n
k
2
possibilités (car
n
n − k
=
n
k
) de choisir n entiers entre 1 et 2n de sorte qu’il y en ait exactement k qui soient inférieurs ou égaux à n.
Au total, il y a donc
n
k=0
n
k
2
sous-ensembles de {1,. . . ,2n} de cardinal n.
Etant donné qu’il y en a également
2n
n
par définition même des coefficients binomiaux, nous avons bien retrouvé la relation précédente.
Exercice 7.6 : Fonctions pathologiques
1. On pose f (0) = 0 et, pour x ∈ R ∗ , f (x) = x 2 sin(1/x). Montrer que f est dérivable sur R mais pas de classe C 1 .
2. On considère la fonction g définie pour x ∈ R par g(x) = x f (x). Montrer
que g ne possède pas de dérivée seconde en 0 mais qu’elle possède néanmoins
un développement limité en 0 à l’ordre 2.
Cet exercice présente des fonctions possédant des propriétés contre-intuitives. Il est
intéressant de les avoir à l’esprit afin de ne pas inventer des théorèmes faux
comme « si f est dérivable alors f est continue » ou « f possède un développement
limité à l’ordre 2 donc est deux fois dérivable »…
Rassurez-vous : en pratique on manipule des fonctions suffisamment régulières,
bien souvent de classe C ∞ , pour lesquelles il n’y a pas de problème de ce type.
Parfois les fonctions considérées sont définies « en plusieurs morceaux », i.e. par
différentes formules comme f l’est ici par f (x) = x 2 sin(1/x) sur R ∗ et f (0) = 0. Il
faut alors soigneusement étudier leur régularité aux points de raccordement des
domaines de validité des formules (ici c’est en 0).
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Partie 2 • Analyse
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