d 1
dx 1 (x
p
) = px
p−1
=
p!
( p − 1)!
x
p−1
Elle permet déjà, avec p = 2n et k = n, de calculer d’une façon aisée la dérivée
demandée.
d n
dx n (x
2n
) =
(2n)!
n!
x
n
.
• L’application de la formule de Leibniz au produit x n × x n fournit une expression
de cette dérivée sous la forme d’une somme :
d n
dx n (x
n
× x
n
) =
n
k=0
n
k
d k
dx k (x
n
)
d n−k
dx n−k (x
n
)
=
n
k=0
n
k
n!
(n − k)!
x
n−k
n!
(n − (n − k))!
x
n−(n−k)
=
n
k=0
n
k
(n!) 2
(n − k)!k!
x
n
= x
n n!
n
k=0
n
k
2
.
Nous avons donc deux expressions de la dérivée n-ième de x → x 2n , ce qui permet
de conclure.
On a, pour tout nombre réel x :
(2n)!
n!
x
n
= x
n n!
n
k=0
n
k
2
d’où l’on tire, pour x = 1 :
n
k=0
n
k
2
=
(2n)!
(n!) 2 =
2n
n
.
3. Par définition des coefficients binomiaux, il y a
2n
n
sous-ensembles de cardinal n d’un ensemble à 2n éléments.
Pour retrouver la relation précédente, il faut désormais faire apparaître les
n
k
pour
toutes les valeurs de k de 0 à n.
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
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Chapitre 7 • Dérivation, développements limités
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