Exercice 7.5 : Formule de Leibniz et coefficients du binôme
On fixe une entier naturel n.
1. Calculer de deux façons différentes la dérivée n-ième de la fonction x → x 2n
(on pourra par exemple écrire x 2n = x n × x n ).
2. En déduire la valeur de
n
k=0
n
k
2
.
3. Retrouver la valeur de cette somme en calculant de deux façons différentes le
nombre de sous-ensembles de {1,. . . ,2n} de cardinal n.
Notons que la dernière question utilise uniquement des techniques de dénombrement, ce qui est l’origine même des coefficients binomiaux ; il y a bien souvent
deux façons d’établir des relations vérifiées par ces coefficients : par le dénombrement ou par le calcul en utilisant les formules qui les font intervenir, à savoir la formule du binôme de Newton et la formule de Leibniz.
Illustrons ces méthodes sur un exemple simple bien connu :
n
k=0
n
k
= 2
n . Ceci
peut se démontrer :
• en remarquant que la somme n’est autre que le nombre de sous-ensembles de
{1,. . . ,n} (pour chaque entier k il y a en effet
n
k
sous-ensembles de cardinal k) et
est donc égal à 2 n ;
• en reconnaissant (de manière un peu astucieuse) un cas particulier de la formule
du binôme de Newton :
n
k=0
n
k
=
n
k=0
n
k
1
k 1
n−k
= (1 + 1)
n
= 2
n
.
L’exercice propose ici des raisonnements analogues à ceci près que les coefficients
binomiaux apparaîtront via la formule de Leibniz.
• Tout d’abord, rappelons une formule générale qui peut se démontrer par récurrence : pour tout entier naturel p et tout entier naturel k p, on a
d k
dx k (x
p
) =
p!
( p − k)!
x
p−k
.
Cette formule se retrouve facilement en considérant les première valeurs de k :
d 0
dx 0 (x
p
) = x
p
=
p!
( p − 0)!
x
p−0
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Partie 2 • Analyse
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