f
(n)
(x) =
n
k=0
n
k
g
(k)
(x)h
(n−k)
(x).
Comme la fonction g (k) est identiquement nulle pour k 3, la somme précédente
s’arrête en fait à k = 2 si n 2.
Écrire
n
k=0
n
k
g
(k)
(x)h
(n−k)
(x) =
2
k=0
n
k
g
(k)
(x)h
(n−k)
(x)
car g (k) = 0 si k 3 n’est pas rigoureusement exact : en effet, si n = 1 par
exemple, la somme s’arrête à k = 1 ; que signifierait alors le terme pour k = 2,
à savoir
1
2
g (2) (x)h (−1) (x) ? Nous allons donc traiter à part les cas particuliers
n = 0 et n = 1.
Pour n 2 il vient successivement :
f
(n)
(x) = g(x)h
(n)
(x) + ng
(x)h
(n−1)
(x) +
n(n − 1)
2
g
(x)h
(n−2)
(x)
= (x
2
+ 2x − 1)(−1)
n e
−x
+ n(2x + 2)(−1)
n−1 e
−x
+
n(n − 1)
2
2(−1)
n e
−x
= (−1)
n e
−x
(x
2
+ 2x − 1) − n(2x + 2) + n(n − 1)
.
= (−1)
n e
−x
(x
2
+ 2(1 − n)x + n
2
− 3n − 1).
Il reste à traiter le cas des premières dérivées (n = 0 ou 1). Celles-ci se calculent
directement sans problème.
Par ailleurs, pour tout réel x :
f
(0)
(x) = f (x) = (x
2
+ 2x − 1)e
−x
f
(x) = −(x
2
− 3)e
−x
.
On remarque que la formule établie plus haut est encore valable avec n = 0
ou n = 1 ; nous avons donc établi :
∀n ∈ N,∀x ∈ R, f
(n)
(x) = (−1)
n e
−x
(x
2
+ 2(1 − n)x + n
2
− 3n − 1).
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
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Chapitre 7 • Dérivation, développements limités
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