De plus, g(0) = f (0) = g(π/2) donc, d’après le théorème de Rolle, il
existe un réel γ ∈]0,π/2[ tel que g (γ) = 0, i.e.
(1 + tan
2
(γ)) f
(tan(γ)) = 0.
En posant c = tan(γ) ∈ R ∗
+ on a alors (1 + c 2 ) f (c) = 0 soit, comme
1 + c 2 = / 0, f (c) = 0.
Exercice 7.4 : Formule de Leibniz
On considère la fonction f définie pour x ∈ R par
f (x) = (x
2
+ 2x − 1)e
−x
.
Calculer les dérivées successives de f.
La fonction est donnée sous forme d’un produit et le calcul de la dérivée n-ième
d’un produit fait naturellement penser à la formule de Leibniz. Cette formule est
utile si on sait effectivement calculer les dérivées successives de chaque facteur du
produit. Or, ici, ces facteurs sont :
• un polynôme, dont les dérivées successives sont identiquement nulles à partir d’un
certain rang ;
• une exponentielle, dont les dérivées successives peuvent se calculer aisément par
récurrence.
La présence du polynôme aura pour effet de tronquer la somme obtenue par application de la formule de Leibniz : en effet, sa dérivée sera nulle à partir d’une certain rang (ici, à partir de la dérivée troisième).
Commençons donc par déterminer ces dérivées successives, la formule de Leibniz
permettant de conclure.
Pour x ∈ R posons g(x) = x 2 + 2x − 1 et h(x) = e −x .
D’une part, on a, pour tout réel x :
g(x) = x
2
+ 2x − 1
g(x) = 2x + 2
g(x) = 2
g
(n)
(x) = 0 (n 3).
D’autre part, pour tout réel x et tout entier naturel n, on a
h (n) (x) = (−1) n e −x .
Ainsi, d’après la formule de Leibniz, on a pour tout réel x et tout entier naturel n :
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Partie 2 • Analyse
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