De plus, par composition des limites, on a
lim
x→π/2
g(x) = λ = lim
x→−π/2
g(x).
En posant g(−π/2) = g(π/2) = λ on obtient donc une fonction continue
sur [−π/2,π/2].
En résumé : g est continue sur [−π/2,π/2], dérivable sur ] − π/2,π/2[ et
g(−π/2) = g(π/2) : g vérifie donc les hypothèses du théorème de Rolle et
il existe donc un réel γ ∈] − π/2,π/2[ tel que g (γ) = 0.
Autrement dit :
(1 + tan
2
(γ)) f
(tan(γ)) = 0
soit f (tan(γ)) = 0 car 1 + tan 2 (γ) = / 0 .
En posant c = tan(γ) ∈ R , on a donc f (c) = 0.
Nous aurions pu également utiliser le résultat de l’exercice 6.4 (qui est cependant
hors-programme) : f est continue sur R (car dérivable) et possède une même limite
finie en −∞ et +∞ donc f est bornée et atteint au moins une de ses bornes en un
point c.
Or la dérivée d’une fonction dérivable qui possède un maximum ou un minimum
en un point qui n’est pas l’une des extrémités éventuelles de son intervalle de définition (ce qui est le cas ici, cet intervalle étant R il n’a pas d’extrémités) s’annule
en ce point, d’où f (c) = 0 .
Le lecteur attentif aura par ailleurs reconnu, dans le raisonnement de l’exercice 6.4, une démarche semblable à la démonstration du théorème de Rolle :
démonstration de l’existence d’extrema puis localisation des points où ils sont
atteints.
Notons enfin que g n’est pas forcément dérivable en ±π/2, ce qui ne pose aucun
problème pour appliquer le théorème de Rolle puisque ses hypothèses n’exigent
que la dérivabilité sur l’ouvert. Par exemple, avec f (x) =
π 2 /4 − Arctan 2 (x),
on a g(x) =
π 2 /4 − x 2 qui n’est pas dérivable aux extrémités.
2. Nous allons refaire le raisonnement précédent mais avec [0,π/2[ à la place de
] − π/2,π/2[ : il n’y a ici à considérer qu’un prolongement, à savoir en π/2.
Soit g : [0,π/2[→ R,x → f (tan(x)). g est dérivable sur [0,π/2[.
De plus :
lim
x→π/2
g(x) = f (0)
donc, en posant g(π/2) = f (0), on obtient une fonction g continue sur
[0,π/2] et dérivable sur [0,π/2[.
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
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Chapitre 7 • Dérivation, développements limités
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lim
x→π/2
g(x) = λ = lim
x→−π/2
g(x).
En posant g(−π/2) = g(π/2) = λ on obtient donc une fonction continue
sur [−π/2,π/2].
En résumé : g est continue sur [−π/2,π/2], dérivable sur ] − π/2,π/2[ et
g(−π/2) = g(π/2) : g vérifie donc les hypothèses du théorème de Rolle et
il existe donc un réel γ ∈] − π/2,π/2[ tel que g (γ) = 0.
Autrement dit :
(1 + tan
2
(γ)) f
(tan(γ)) = 0
soit f (tan(γ)) = 0 car 1 + tan 2 (γ) = / 0 .
En posant c = tan(γ) ∈ R , on a donc f (c) = 0.
Nous aurions pu également utiliser le résultat de l’exercice 6.4 (qui est cependant
hors-programme) : f est continue sur R (car dérivable) et possède une même limite
finie en −∞ et +∞ donc f est bornée et atteint au moins une de ses bornes en un
point c.
Or la dérivée d’une fonction dérivable qui possède un maximum ou un minimum
en un point qui n’est pas l’une des extrémités éventuelles de son intervalle de définition (ce qui est le cas ici, cet intervalle étant R il n’a pas d’extrémités) s’annule
en ce point, d’où f (c) = 0 .
Le lecteur attentif aura par ailleurs reconnu, dans le raisonnement de l’exercice 6.4, une démarche semblable à la démonstration du théorème de Rolle :
démonstration de l’existence d’extrema puis localisation des points où ils sont
atteints.
Notons enfin que g n’est pas forcément dérivable en ±π/2, ce qui ne pose aucun
problème pour appliquer le théorème de Rolle puisque ses hypothèses n’exigent
que la dérivabilité sur l’ouvert. Par exemple, avec f (x) =
π 2 /4 − Arctan 2 (x),
on a g(x) =
π 2 /4 − x 2 qui n’est pas dérivable aux extrémités.
2. Nous allons refaire le raisonnement précédent mais avec [0,π/2[ à la place de
] − π/2,π/2[ : il n’y a ici à considérer qu’un prolongement, à savoir en π/2.
Soit g : [0,π/2[→ R,x → f (tan(x)). g est dérivable sur [0,π/2[.
De plus :
lim
x→π/2
g(x) = f (0)
donc, en posant g(π/2) = f (0), on obtient une fonction g continue sur
[0,π/2] et dérivable sur [0,π/2[.
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
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