Remarquons que d ∈
a + c
2
,c
donc, a fortiori, d ∈]a,b[.
Enfin, en reportant cette valeur de A dans l’expression de g(x) pour x = b
on obtient :
f (a) + f (b)
2
= f
a + b
2
+
(b − a) 2
8
f
(d).
Exercice 7.3 : Généralisation du théorème de Rolle
Voir exercice 6.4
1. Soit f une application dérivable de R dans lui-même possédant une même
limite finie λ en +∞ et −∞. En considérant l’application g = f ◦ tan montrer
qu’il existe c ∈ R tel que f (c) = 0.
2. Soit f une application dérivable de R + dans R telle que lim
x→+∞
f (x) = f (0).
Par un procédé analogue, montrer qu’il existe c ∈ R ∗
+ tel que f (c) = 0.
Nous pouvons représenter graphiquement une fonction de la forme de la première
question, les tangentes horizontales marquant les points où la dérivée est nulle :
144
Partie 2 • Analyse
0
0
1
1
– 1
– 2
– 3
– 4
2
2
3
3
4
y = λ
1. Reprenons la démarche de l’exercice 6.4 : pour cela, on commence par prolonger g par continuité en ±π/2 puis on vérifie que les hypothèses du théorème de
Rolle sont vérifiées. À partir d’un réel γ ∈] − π/2,π/2[ tel que g (γ) = 0 on
construit un réel c tel que f (c) = 0.
Soit g : ] − π/2,π/2[→ R , x → f (tan(x)) .
g est dérivable sur ] − π/2,π/2[ comme composée de la fonction tangente,
dérivable sur cet intervalle, et de f, dérivable sur R.
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a + c
2
,c
donc, a fortiori, d ∈]a,b[.
Enfin, en reportant cette valeur de A dans l’expression de g(x) pour x = b
on obtient :
f (a) + f (b)
2
= f
a + b
2
+
(b − a) 2
8
f
(d).
Exercice 7.3 : Généralisation du théorème de Rolle
Voir exercice 6.4
1. Soit f une application dérivable de R dans lui-même possédant une même
limite finie λ en +∞ et −∞. En considérant l’application g = f ◦ tan montrer
qu’il existe c ∈ R tel que f (c) = 0.
2. Soit f une application dérivable de R + dans R telle que lim
x→+∞
f (x) = f (0).
Par un procédé analogue, montrer qu’il existe c ∈ R ∗
+ tel que f (c) = 0.
Nous pouvons représenter graphiquement une fonction de la forme de la première
question, les tangentes horizontales marquant les points où la dérivée est nulle :
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Partie 2 • Analyse
0
0
1
1
– 1
– 2
– 3
– 4
2
2
3
3
4
y = λ
1. Reprenons la démarche de l’exercice 6.4 : pour cela, on commence par prolonger g par continuité en ±π/2 puis on vérifie que les hypothèses du théorème de
Rolle sont vérifiées. À partir d’un réel γ ∈] − π/2,π/2[ tel que g (γ) = 0 on
construit un réel c tel que f (c) = 0.
Soit g : ] − π/2,π/2[→ R , x → f (tan(x)) .
g est dérivable sur ] − π/2,π/2[ comme composée de la fonction tangente,
dérivable sur cet intervalle, et de f, dérivable sur R.
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