g est dérivable sur [a,b] et g(a) = g(b) : d’après le théorème de Rolle il
existe donc c ∈]a,b[ tel que g (c) = 0.
L’énoncé précis du théorème de Rolle demande en fait que g soit continue sur
[a,b] et dérivable sur ]a,b[ ; ceci est bien vérifié quand g est dérivable sur [a,b]
tout entier !
Le fait qu’on ne demande pas la dérivabilité en a et b ne signifie pas que la fonction ne doit pas y être dérivable mais uniquement que le résultat reste vrai qu’elle
le soit ou non.
3. On a, pour tout x ∈ I :
g
(x) =
1
2
f
(x) −
1
2
f
a + x
2
− 2(x − a)A.
D’une part, f (a) est une constante donc sa dérivée est nulle.
D’autre part, x → f
a + x
2
est une composée, plus précisément de f par une
fonction affine, d’où le facteur 1/2 quand on dérive.
En écrivant que g (c) = 0 on aura donc l’expression d’une variation de f , à savoir
f
(c) − f
a + c
2
. On peut exprimer ceci à l’aide de f grâce à l’égalité des
accroissements finis après en avoir bien sûr vérifié les hypothèses.
On sait que g (c) = 0 ce qui donne, en regroupant les termes en f à gauche
de l’égalité :
f
(c) − f
a + c
2
= 4(c − a)A.
a + c
2
< c et f est dérivable sur
a + c
2
,c
: on peut donc appliquer l’égalité des accroissements finis à f entre ces deux points.
Ainsi, il existe d ∈
a + c
2
,c
tel que
f
(c) − f
a + c
2
=
c −
a + c
2
f
(d) =
c − a
2
f
(d).
On a donc
c − a
2
f
(d) = 4(c − a)A soit, comme c = / a, A =
1
8
f
(d).
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Chapitre 7 • Dérivation, développements limités
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