Exercice 7.2 : Application de l’égalité des accroissements finis
Soient I un intervalle, f une application deux fois dérivable de I dans R, a et b
deux éléments de I avec a < b.
Pour x ∈ I on pose g(x) =
f (a) + f (x)
2
−
f
a + x
2
+ (x − a)
2 A
, où A
est une constante réelle.
1. Montrer qu’on peut choisir A de sorte que g(a) = g(b) = 0.
2. Montrer qu’il existe c ∈]a,b[ tel que g (c) = 0.
3. En appliquant l’égalité des accroissements finis à f entre deux points bien
choisis en déduire qu’il existe d ∈]a,b[ tel que :
f (a) + f (b)
2
= f
a + b
2
+
(b − a) 2
8
f
(d).
Il s’agit du même type d’exercice que le 7.1. La différence est qu’ici, au lieu de
n’appliquer que le théorème de Rolle, on utilisera également l’égalité des accroissements finis.
1. Vu qu’on a clairement g(a) = 0, il faut choisir A tel que g(b) = 0. Ceci est
simple en prenant le problème « à l’envers » : si A convient, alors :
0 = g(b) =
f (a) + f (b)
2
−
f
a + b
2
+ (b − a)
2 A
et le réel
1
(b − a) 2
f (a) + f (b)
2
− f
a + b
2
convient donc, tout simplement !
Pour déterminer la valeur de A convenant nous avons divisé par (b − a) 2 ; la
réponse n’est donc correcte que si l’on justifie cette division, i.e. qu’on vérifie que (b − a) 2 = / 0 , ce qui est évident mais doit néanmoins être signalé.
Posons A =
1
(b − a) 2
f (a) + f (b)
2
− f
a + b
2
, ce qui est licite car
a = / b. Avec ce choix de A on a clairement g(b) = 0 = g(a).
2. Les hypothèses du théorème de Rolle sont vérifiées et même clairement mises en
valeur…
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Partie 2 • Analyse
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