Enfin, on a bien c 1 < c 2 ; g est continue sur [c 1 ,c 2 ], dérivable sur ]c 1 ,c 2 [
et g (c 1 ) = g (c 2 ) : d’après le théorème de Rolle il existe donc un réel
c ∈]c 1 ,c 2 [ (a fortiori c ∈]a,b[) tel que g (c) = 0.
D’autre part on a, pour tout x ∈ [a,b] :
g
(x) = f
(x) −
f (b) − f (a)
b − a
− (2x − a − b)A
d’où
g
(x) = f
(x) − 2A.
En particulier, pour x = c, il vient :
A =
1
2
f
(c).
En remplaçant A par sa valeur dans la relation g(x 0 ) = 0 il vient
f (x 0 ) = f (a) + (x 0 − a)
f (b) − f (a)
b − a
+
(x 0 − a)(x 0 − b)
2
f
(c)
soit, en soustrayant f (a) et en divisant par x 0 − a, qui n’est pas nul :
f (x 0 ) − f (a)
x 0 − a
=
f (b) − f (a)
b − a
+
x 0 − b
2
f
(c).
Voici une illustration graphique : les quotients considérés sont les pentes des deux
droites, le résultat permet donc d’estimer la différence de ces pentes à l’aide de f .
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
141
Chapitre 7 • Dérivation, développements limités
y = f (x)
a
b
x 0
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et g (c 1 ) = g (c 2 ) : d’après le théorème de Rolle il existe donc un réel
c ∈]c 1 ,c 2 [ (a fortiori c ∈]a,b[) tel que g (c) = 0.
D’autre part on a, pour tout x ∈ [a,b] :
g
(x) = f
(x) −
f (b) − f (a)
b − a
− (2x − a − b)A
d’où
g
(x) = f
(x) − 2A.
En particulier, pour x = c, il vient :
A =
1
2
f
(c).
En remplaçant A par sa valeur dans la relation g(x 0 ) = 0 il vient
f (x 0 ) = f (a) + (x 0 − a)
f (b) − f (a)
b − a
+
(x 0 − a)(x 0 − b)
2
f
(c)
soit, en soustrayant f (a) et en divisant par x 0 − a, qui n’est pas nul :
f (x 0 ) − f (a)
x 0 − a
=
f (b) − f (a)
b − a
+
x 0 − b
2
f
(c).
Voici une illustration graphique : les quotients considérés sont les pentes des deux
droites, le résultat permet donc d’estimer la différence de ces pentes à l’aide de f .
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
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Chapitre 7 • Dérivation, développements limités
y = f (x)
a
b
x 0
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