donc
(x 0 − a)(x 0 − b)A = f (x 0 ) − f (a) − (x 0 − a)
f (b) − f (a)
b − a
.
Or x 0 est distinct de a et de b donc on peut diviser l’égalité par (x 0 − a)(x 0 − b) ,
ce qui donne
A =
1
(x 0 − a)(x 0 − b)
f (x 0 ) − f (a) − (x 0 − a)
f (b) − f (a)
b − a
.
Pour la rédaction, on se contentera de poser cette dernière formule, en n’oubliant
pas de justifier qu’elle a un sens, et de vérifier qu’elle convient.
Il est clair que g(a) = g(b) = 0.
Posons
A =
1
(x 0 − a)(x 0 − b)
f (x 0 ) − f (a) − (x 0 − a)
f (b) − f (a)
b − a
; ceci
est licite car x 0 − a et x 0 − b ne sont pas nuls. On a alors clairement :
g(x 0 ) = 0 = g(a) = g(b).
Cette réponse peut paraître surprenante ! L’unique argument mathématique attendu
est la justification de la division par (x 0 − a)(x 0 − b) , i.e. que ce réel n’est pas nul.
Dans une telle situation il ne faut pas chercher à trouver une expression plus simple
pour A : c’est précisément l’objet de la suite de l’exercice.
2. En appliquant le théorème de Rolle à g on obtiendra un ou plusieurs points où g
s’annule. Cependant, l’expression de g fera intervenir f alors que la réponse
contient f : on appliquera donc à nouveau le théorème de Rolle à g pour obtenir
le résultat.
D’autre part, g vérifie bien les hypothèses du théorème de Rolle sur [a,b] mais on
a mieux : elle les vérifie sur [a,x 0 ] et [x 0 ,b]. Ainsi, on pourra appliquer deux fois le
théorème de Rolle à g sur deux segments distincts, ce qui fournira deux points où
la dérivée s’annule ; on pourra alors appliquer le théorème de Rolle à g entre ces
deux points pour aboutir au résultat demandé.
g est continue sur [a,x 0 ] et dérivable sur ]a,x 0 [ ; de plus, g(a) = g(x 0 ).
D’après le théorème de Rolle il existe un réel c 1 ∈]a,x 0 [tel que g (c 1 ) = 0.
Le même raisonnement sur [x 0 ,b] montre qu’il existe un réel c 2 ∈]x 0 ,b[ tel
que g (c 2 ) = 0.
140
Partie 2 • Analyse
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(x 0 − a)(x 0 − b)A = f (x 0 ) − f (a) − (x 0 − a)
f (b) − f (a)
b − a
.
Or x 0 est distinct de a et de b donc on peut diviser l’égalité par (x 0 − a)(x 0 − b) ,
ce qui donne
A =
1
(x 0 − a)(x 0 − b)
f (x 0 ) − f (a) − (x 0 − a)
f (b) − f (a)
b − a
.
Pour la rédaction, on se contentera de poser cette dernière formule, en n’oubliant
pas de justifier qu’elle a un sens, et de vérifier qu’elle convient.
Il est clair que g(a) = g(b) = 0.
Posons
A =
1
(x 0 − a)(x 0 − b)
f (x 0 ) − f (a) − (x 0 − a)
f (b) − f (a)
b − a
; ceci
est licite car x 0 − a et x 0 − b ne sont pas nuls. On a alors clairement :
g(x 0 ) = 0 = g(a) = g(b).
Cette réponse peut paraître surprenante ! L’unique argument mathématique attendu
est la justification de la division par (x 0 − a)(x 0 − b) , i.e. que ce réel n’est pas nul.
Dans une telle situation il ne faut pas chercher à trouver une expression plus simple
pour A : c’est précisément l’objet de la suite de l’exercice.
2. En appliquant le théorème de Rolle à g on obtiendra un ou plusieurs points où g
s’annule. Cependant, l’expression de g fera intervenir f alors que la réponse
contient f : on appliquera donc à nouveau le théorème de Rolle à g pour obtenir
le résultat.
D’autre part, g vérifie bien les hypothèses du théorème de Rolle sur [a,b] mais on
a mieux : elle les vérifie sur [a,x 0 ] et [x 0 ,b]. Ainsi, on pourra appliquer deux fois le
théorème de Rolle à g sur deux segments distincts, ce qui fournira deux points où
la dérivée s’annule ; on pourra alors appliquer le théorème de Rolle à g entre ces
deux points pour aboutir au résultat demandé.
g est continue sur [a,x 0 ] et dérivable sur ]a,x 0 [ ; de plus, g(a) = g(x 0 ).
D’après le théorème de Rolle il existe un réel c 1 ∈]a,x 0 [tel que g (c 1 ) = 0.
Le même raisonnement sur [x 0 ,b] montre qu’il existe un réel c 2 ∈]x 0 ,b[ tel
que g (c 2 ) = 0.
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Partie 2 • Analyse
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