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Exercice 7.1 : Applications du théorème de Rolle
Soient I un intervalle, f une application deux fois dérivable de I dans R.
On considère trois éléments a, b et x 0 de I tels que a < x 0 < b. Pour x ∈ [a,b]
on pose g(x) = f (x) − f (a) − (x − a)
f (b) − f (a)
b − a
− (x − a)(x − b)A , A
constante réelle.
1. Montrer qu’on peut choisir A de sorte que g(a) = g(x 0 ) = g(b) .
2. En déduire, en appliquant plusieurs fois le théorème de Rolle, qu’il existe un
élément c de ]a,b[ tel que
f (x 0 ) − f (a)
x 0 − a
=
f (b) − f (a)
b − a
+
x 0 − b
2
f
(c).
C’est un exercice typique d’application du théorème de Rolle : pour démontrer un
résultat sur f on introduit une fonction auxiliaire g à laquelle on applique une ou
plusieurs fois ce théorème. C’est d’ailleurs par un tel procédé que l’on peut déduire
l’égalité des accroissements finis du théorème de Rolle.
1. On voit sur la définition de g que g(a) = g(b) = 0 : on souhaite choisir A tel que
g(x 0 ) = 0.
Raisonnons par analyse-synthèse : si un tel réel A convient on a alors
f (x 0 ) − f (a) − (x 0 − a)
f (b) − f (a)
b − a
− (x 0 − a)(x 0 − b)A = 0
Dérivation,
développements
limités
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