Par définition de la continuité uniforme il existe un réel δ > 0 tel que :
∀(x,y) ∈ R
2
+ ,|x − y| δ ⇒ | f (x) − f (y)| h.
De plus, en prenant t = δ dans l’hypothèse de l’exercice : la suite de terme
général f (nδ) tend vers 0 quand n tend vers +∞. Ainsi, par définition de
la limite d’une suite, il existe un entier naturel N tel que :
∀n ∈ N,n N ⇒ | f (nδ)| h.
Le réel δ et l’entier N ci-dessus conviennent donc.
2. Avant de commencer, écrivons le résultat auquel on souhaite arriver :
Pour tout réel ε > 0, il existe un réel positif A tel que, pour tout réel x A,
| f (x)| ε
Fixons donc un réel ε > 0 et cherchons un tel A.
D’après le deuxième point de la question précédente, en prenant h = ε, on a
l’inégalité | f (x)| ε pour les réels x de la forme n δ avec n N. C’est presque ce
que l’on souhaite : il faudrait juste obtenir une telle inégalité pour tous les réels x
supérieurs ou égaux à N δ, plutôt que de ne l’avoir que pour les réels de la forme
n δ, et on concluerait en prenant A = N δ.
Les nombres de la forme n δ, avec n entier, sont répartis de δ en δ. Ainsi, tout réel
positif x est distant d’un tel nombre d’au plus δ. Plus précisément, à l’aide de la partie entière, on peut démontrer que pour tout réel positif x il existe un entier naturel
m tel que m δ x < (m + 1) δ.
Graphiquement, sur la droite réelle :
136
Partie 2 • Analyse
0
…
δ
2δ
m δ
(m + 1) δ
x
On a alors |x − m δ| δ et donc, | f (x) − f (mδ)| ε.
Nous pouvons maintenant obtenir un renseignement sur f (x) : d’après l’inégalité
triangulaire,
| f (x)| = | f (x) − f (m δ) + f (m δ)| | f (x) − f (m δ)| + | f (m δ)|
et ceci est inférieur ou égal à 2ε si m N, i.e. si x N δ.
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2
+ ,|x − y| δ ⇒ | f (x) − f (y)| h.
De plus, en prenant t = δ dans l’hypothèse de l’exercice : la suite de terme
général f (nδ) tend vers 0 quand n tend vers +∞. Ainsi, par définition de
la limite d’une suite, il existe un entier naturel N tel que :
∀n ∈ N,n N ⇒ | f (nδ)| h.
Le réel δ et l’entier N ci-dessus conviennent donc.
2. Avant de commencer, écrivons le résultat auquel on souhaite arriver :
Pour tout réel ε > 0, il existe un réel positif A tel que, pour tout réel x A,
| f (x)| ε
Fixons donc un réel ε > 0 et cherchons un tel A.
D’après le deuxième point de la question précédente, en prenant h = ε, on a
l’inégalité | f (x)| ε pour les réels x de la forme n δ avec n N. C’est presque ce
que l’on souhaite : il faudrait juste obtenir une telle inégalité pour tous les réels x
supérieurs ou égaux à N δ, plutôt que de ne l’avoir que pour les réels de la forme
n δ, et on concluerait en prenant A = N δ.
Les nombres de la forme n δ, avec n entier, sont répartis de δ en δ. Ainsi, tout réel
positif x est distant d’un tel nombre d’au plus δ. Plus précisément, à l’aide de la partie entière, on peut démontrer que pour tout réel positif x il existe un entier naturel
m tel que m δ x < (m + 1) δ.
Graphiquement, sur la droite réelle :
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Partie 2 • Analyse
0
…
δ
2δ
m δ
(m + 1) δ
x
On a alors |x − m δ| δ et donc, | f (x) − f (mδ)| ε.
Nous pouvons maintenant obtenir un renseignement sur f (x) : d’après l’inégalité
triangulaire,
| f (x)| = | f (x) − f (m δ) + f (m δ)| | f (x) − f (m δ)| + | f (m δ)|
et ceci est inférieur ou égal à 2ε si m N, i.e. si x N δ.
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