On aurait préféré une majoration par ε plutôt que 2ε pour obtenir exactement la
définition du résultat demandé ; pour cela, on reprend tout à l’identique mais avec
h = ε/2.
Soit un réel ε > 0 et posons h = ε/2.
Considérons le réel δ > 0 et l’entier naturel N donnés par la première question.
Soit un réel x N δ et posons m = E(x/δ) .
On a alors :
m
x
δ
< m + 1
soit, comme δ > 0 :
0 x − mδ < δ.
De plus :
| f (x)| = | f (x) − f (mδ) + f (mδ)| | f (x) − f (mδ)| + | f (mδ)|.
Comme |x − mδ| δ on a | f (x) − f (mδ)| h.
Enfin,
x
δ
N qui est un entier donc m N (car m est le plus grand entier
inférieur ou égal à
x
δ
). Ainsi, | f (mδ)| h.
En conclusion :
| f (x)| 2h = ε.
Résumons tout ce qui vient d’être dit à l’aide de quantificateurs et en notant
A = N δ :
∀ε ∈ R
∗
+ ,∃A ∈ R + ,∀x ∈ R + ,x A ⇒ | f (x)| ε.
Par définition de la limite en +∞ ceci signifie exactement :
lim
x→+∞
f (x) = 0.
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
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Chapitre 6 • Fonctions continues
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