Cette inégalité est vraie pour tout réel x > 0 ; en considérant la limite
quand x tend vers 0 on aboutit à
+∞ 1
ce qui est absurde.
Ainsi, g n’est pas uniformément continue sur R ∗
+ .
On sait que, si f est une fonction d’un intervalle I dans R, on a les implications :
f lipschitzienne ⇒ f uniformément continue ⇒ f continue.
Les exemples ci-dessus montrent que les implications réciproques sont fausses.
Cependant, avec des hypothèses supplémentaires, elles peuvent être vraies :
• si f est continue sur un segment alors elle est uniformément continue (théorème
de Heine) ;
• si f est de classe C 1 sur un segment alors elle est lipschitzienne (conséquence de
l’inégalité des accroissements finis).
Il existe un certain nombre d’autres conditions suffisantes pour qu’une fonction
soit lipschitzienne ou uniformément continue sur un intervalle qui n’est pas nécessairement un segment ; cependant, seules les deux citées ici sont au programme.
Exercice 6.7 : Continuité uniforme et limite (MPSI)
Soit f une application uniformément continue de R + dans R.
On suppose que, pour tout réel strictement positif t, la suite ( f (nt)) n∈N tend vers
0 quand n tend vers +∞.
1. Soit un réel h > 0. Montrer qu’il existe un réel δ > 0 et un entier naturel N
tels que :
i) pour tout (x,y) ∈ R 2
+ tel que |x − y| δ, | f (x) − f (y)| h ;
ii) pour tout entier n N, | f (nδ)| h.
2. Montrer que lim
x→+∞
f (x) = 0.
Dans l’hypothèse, on fait tendre l’entier n vers +∞, le réel t ayant été précédemment fixé de manière arbitraire. Autrement dit, on suppose que des suites
convergent vers 0.
Dans la conclusion, en revanche, c’est la fonction f qui tend vers 0.
1. On reconnaît ici deux définitions du cours : la continuité uniforme et la limite
d’une suite. Il n’y a donc qu’à traduire correctement les hypothèses de l’énoncé
pour avoir le résultat de cette question préliminaire.
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
135
Chapitre 6 • Fonctions continues
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quand x tend vers 0 on aboutit à
+∞ 1
ce qui est absurde.
Ainsi, g n’est pas uniformément continue sur R ∗
+ .
On sait que, si f est une fonction d’un intervalle I dans R, on a les implications :
f lipschitzienne ⇒ f uniformément continue ⇒ f continue.
Les exemples ci-dessus montrent que les implications réciproques sont fausses.
Cependant, avec des hypothèses supplémentaires, elles peuvent être vraies :
• si f est continue sur un segment alors elle est uniformément continue (théorème
de Heine) ;
• si f est de classe C 1 sur un segment alors elle est lipschitzienne (conséquence de
l’inégalité des accroissements finis).
Il existe un certain nombre d’autres conditions suffisantes pour qu’une fonction
soit lipschitzienne ou uniformément continue sur un intervalle qui n’est pas nécessairement un segment ; cependant, seules les deux citées ici sont au programme.
Exercice 6.7 : Continuité uniforme et limite (MPSI)
Soit f une application uniformément continue de R + dans R.
On suppose que, pour tout réel strictement positif t, la suite ( f (nt)) n∈N tend vers
0 quand n tend vers +∞.
1. Soit un réel h > 0. Montrer qu’il existe un réel δ > 0 et un entier naturel N
tels que :
i) pour tout (x,y) ∈ R 2
+ tel que |x − y| δ, | f (x) − f (y)| h ;
ii) pour tout entier n N, | f (nδ)| h.
2. Montrer que lim
x→+∞
f (x) = 0.
Dans l’hypothèse, on fait tendre l’entier n vers +∞, le réel t ayant été précédemment fixé de manière arbitraire. Autrement dit, on suppose que des suites
convergent vers 0.
Dans la conclusion, en revanche, c’est la fonction f qui tend vers 0.
1. On reconnaît ici deux définitions du cours : la continuité uniforme et la limite
d’une suite. Il n’y a donc qu’à traduire correctement les hypothèses de l’énoncé
pour avoir le résultat de cette question préliminaire.
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
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