En résumé nous avons démontré :
∀ε ∈ R
∗
+ ,∃η ∈ R
∗
+ ,∀(x,y) ∈ R
2
+ ,|x − y| η ⇒ | f (x) − f (y)| ε
ce qui signifie exactement, par définition, que f est uniformément continue
sur R + .
2. Comme précédemment, pour démontrer ce résultat négatif, nous pouvons tenter
un raisonnement par l’absurde.
Pour x ∈ R ∗
+ posons g(x) =
1
x
et supposons que g soit uniformément continue
sur R ∗
+ .
Soit un réel ε > 0. Il existe un réel η > 0 tel que, si |x − y| η, |
1
x
−
1
y
| ε, i.e. :
|y − x|
x y
ε.
Le problème est que l’on ne peut pas faire tendre x vers 0 sans précaution dans cette
expression : x et y ne sont pas tout à fait quelconques, ils doivent vérifier la relation |x − y| η. Une stratégie est donc de considérer des valeurs particulières de y
pour éliminer cette variable et n’avoir plus que la seule variable x.
Pour cela, on peut prendre y = x + η : on a alors bien y ∈ R ∗
+ et |x − y| η et
l’inégalité ci-dessus devient la propriété
∀x ∈ R
∗
+ ,
η
x(x + η)
ε
dont on voit clairement qu’elle est absurde en faisant tendre x vers 0.
Enfin, on constate que le choix de ε est indifférent : on n’a pas besoin de vérifier
ceci pour tout réel ε > 0, un seul suffit ; nous pouvons par exemple prendre ε = 1,
ce qui allègera la rédaction.
Supposons que g soit uniformément continue sur R ∗
+ .
Alors il existe un réel η > 0 tel que :
∀(x,y) ∈ (R
∗
+ )
2
,|x − y| η ⇒ |g(x) − g(y)| 1.
En considérant un réel x > 0 quelconque et en posant y = x + η on a bien
(x,y) ∈ (R ∗
+ ) 2 et |y − x| η. Ainsi :
η
x(x + η)
1.
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Partie 2 • Analyse
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