Afin d’y voir plus clair, supposons x y. Ceci n’influera pas le résultat puisqu’il y
a des valeurs absolues dans tous les termes.
On a alors :
y − x = (
√ y −
√
x)(
√ y +
√
x)
soit
√ y −
√
x =
y − x
√ y +
√
x
.
Comme 0 x y , on a 0 y − x y et donc
√
y − x
√ y
√ y +
√
x.
Ainsi, on obtient :
√ y −
√
x
√ y − x .
Pour avoir
√ y −
√
x ε, il suffit donc d’avoir y − x ε 2 . Autrement dit, le choix
η = ε 2 convient.
L’inégalité
√ y −
√
x
√ y − x (en n’oubliant pas que x y , faute de quoi on a
seulement |
√ y −
√
x|
√
|y − x| ) peut aussi se lire comme l’inégalité classique :
√
a + b
√
a +
√
b (en prenant a = x et b = y − x ).
Cette dernière vient du fait que a + b a + b + 2
√
ab = (
√
a +
√
b) 2 en considérant ensuite la racine carrée.
Il est toujours profitable de connaître (ou, au moins, de savoir retrouver) ce type
d’inégalité : cela permet de ne pas être bloqué par une expression avec des racines
carrées.
Soit un réel ε > 0 et posons η = ε 2 > 0.
Soient x et y deux réels positifs tels que |x − y| η. Nous pouvons, sans
perte de généralité, supposer x y.
Alors :
|
√
x −
√ y| =
|x − y|
√
x +
√ y
.
De plus :
√
x +
√ y
√ y
√
y − x
d’où :
|
√
x −
√ y|
|x − y| = ε.
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
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Chapitre 6 • Fonctions continues
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