Espaces fonctionnels
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( z· + z+1)
Siondéfinitg(t),pourt E]zj,Zj+i[,parg(t)=f(tj)=f 3 2 3
,
on aura
llg(t) - /(t)ll = 11/(tj) - /(t)ll ~ é
sur ]zj, Zj+l [.
Il est bien clair que si tj E]xi, dxi [on est conduit au même résultat, à
savoir ]z;,Zj+i[C]xi,dxi[ d'abord, puis à llg(t) -/(t)ll ~ c sur ]z;,Zj+i[
si on définit g(t) par la valeur constante f(tj) sur cet intervalle.
Enfin, tj dans [a, da[ ou dans ]cb, b] se traite de la même façon.
(z·+z+1)
Endéfinissantdoncg,enescalier,parg(t) = f 3 2
3
surchaque
intervalle consécutif]zj, zi·+l[, et par g(zj) = f(zj) si j = 0, 1, ... ,p, on
obtient g en escalier avec If - Ylloo ~ c. Comme c est quelconque, f est
réglée.
•
REMARQUE 12.39. - La réciproque n'a pas utilisé l'hypothèse E complet.
On peut donc en déduire le :
COROLLAIRE 12.40. - Soit E espace vectoriel normé. Une fonction continue
f de I = [a, b] dans E est réglée.
Les limites à droite et à gauche existent et valent f(x).
•
Dans le cas particulier de E = R, comme une fonction monotone
bornée a une limite en tout point, on a
COROLLAIRE 12.41. - Soit f monotone de [a, b] dans IR, elle est réglée. •
Ces delix corollaires font penser aux fonctions Darboux intégrables.
Mais avant de parler de l'intégrale des fonctions réglées, signalons que,
le «plus souvent», (les guillemets parce que cela ne veut rien dire) les
limites à droite et à gauche valent . .. f ( x) car on a :
THÉORÈME 12.42. - Soit f réglée de I = [a, b] daM E espace vectoriel
normé. Elle est continue sauf sur un ensemble dénombrable d'éléments de
I au plus.
Ensemble éventuellement vide, mais c'est équipotent c'est-à-dire en
bijection avec une partie de N.