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Analyse fonctionnelle
En effet, f, réglée, est limite uniforme d'une suite (gn)neN de fonctions
en escalier, chaque fn ayant un ensemble fini Hn de points de discontinuité. Alors H = LJ Hn est dénombrable et sur [a, b]-H, f est continue,
nEN
car, soit xo E [a, b]-H, soit é' > 0, 3gn 0 telle que llf-Ynolloo ~ i• donc,
Vx E [a, b], on a
11/(x) - f(xo)ll ~ 11/(x) - Yno(x)ll + llYno(x) - Yno(xo)ll
+ llYno(xo) - /(xo)ll
é'
~ 23+11Yn0 (x) - Yno(xo)ll·
Comme xo fi. H, a fortiori xo n'est pas point de discontinuité de la
fonction en escalier Yno, donc Yno est constante sur un voisinage de xo :
il existe a> 0, Vx E [a,b]n]xo - a,xo +a[ on ait Yn(x) = 9n 0 (xo).
Finalement, à é' > 0, on a associé a > 0 tel que
2c
x E [a,b]n]xo - a,xo +a[=? 11/(x) - /(xo)ll ~ 3
la fonction réglée f est bien continue en xo de [a, b] - H.
•
REMARQUE 12.42.bis - Comme c'est l'aspect localement constant de Yno
qui a servi, et non continue en xo, on aurait pu se contenter de couper é'
en deux.
REMARQUE 12.42.ter - On peut très facilement donner la démonstration
fausse suivante : sur [a, b] - H, chaque Yn est continue, les Yn convergent
uniformément sur [a, b]-H vers f, donc f est continue sur [a, b]-H. C'est
vrai. Mais ceci n'implique pas la continuité, en chaque point de [a, b]-H,
de f considérée comme fonction de [a, b] dans E. (Revoir les questions de
sous-espace topologique du chapitre 1 si vous avez des doutes).
THÉORÈME 12.43. - Si E est un Banach, l'espace vectoriel B(I, E) des
fonctions bornées de I dans E est un Banach pour la norme de la
convergence uniforme.
Car, soit (un)ner-..1, une suite de Cauchy de B(I,E) pour Il lloo, avec
llunlloo = sup{llun(t)ll; t E I}, qui existe puisque Un est bornée. Il
faut remarquer qu'ici I est un ensemble quelconque, pas forcément un
intervalle. On a
12.44.
Ve> 0, 3no EN, Vp ~no, Vq ~no, Vt E I, llUp(t) - uq(t)ll ~ c.
Analyse fonctionnelle
En effet, f, réglée, est limite uniforme d'une suite (gn)neN de fonctions
en escalier, chaque fn ayant un ensemble fini Hn de points de discontinuité. Alors H = LJ Hn est dénombrable et sur [a, b]-H, f est continue,
nEN
car, soit xo E [a, b]-H, soit é' > 0, 3gn 0 telle que llf-Ynolloo ~ i• donc,
Vx E [a, b], on a
11/(x) - f(xo)ll ~ 11/(x) - Yno(x)ll + llYno(x) - Yno(xo)ll
+ llYno(xo) - /(xo)ll
é'
~ 23+11Yn0 (x) - Yno(xo)ll·
Comme xo fi. H, a fortiori xo n'est pas point de discontinuité de la
fonction en escalier Yno, donc Yno est constante sur un voisinage de xo :
il existe a> 0, Vx E [a,b]n]xo - a,xo +a[ on ait Yn(x) = 9n 0 (xo).
Finalement, à é' > 0, on a associé a > 0 tel que
2c
x E [a,b]n]xo - a,xo +a[=? 11/(x) - /(xo)ll ~ 3
la fonction réglée f est bien continue en xo de [a, b] - H.
•
REMARQUE 12.42.bis - Comme c'est l'aspect localement constant de Yno
qui a servi, et non continue en xo, on aurait pu se contenter de couper é'
en deux.
REMARQUE 12.42.ter - On peut très facilement donner la démonstration
fausse suivante : sur [a, b] - H, chaque Yn est continue, les Yn convergent
uniformément sur [a, b]-H vers f, donc f est continue sur [a, b]-H. C'est
vrai. Mais ceci n'implique pas la continuité, en chaque point de [a, b]-H,
de f considérée comme fonction de [a, b] dans E. (Revoir les questions de
sous-espace topologique du chapitre 1 si vous avez des doutes).
THÉORÈME 12.43. - Si E est un Banach, l'espace vectoriel B(I, E) des
fonctions bornées de I dans E est un Banach pour la norme de la
convergence uniforme.
Car, soit (un)ner-..1, une suite de Cauchy de B(I,E) pour Il lloo, avec
llunlloo = sup{llun(t)ll; t E I}, qui existe puisque Un est bornée. Il
faut remarquer qu'ici I est un ensemble quelconque, pas forcément un
intervalle. On a
12.44.
Ve> 0, 3no EN, Vp ~no, Vq ~no, Vt E I, llUp(t) - uq(t)ll ~ c.