Espaces fonctionnels
91
On lit 12.44. pour t fixé, cela signifie que la suite (up(t))pEN est de
Cauchy dans E complet, donc convergente. On note u(t) sa limite.
Dans 12.44, avec e, no, p ~ no et t fixés, si q tend vers +oo, la
continuité de la norme permet de dire que llup(t) - u(t)ll ~ e. On a donc
12.45.
Ve> 0, 3no, Vp ~no, Vt E J, llup(t) - u(t)ll ~ e,
mais alors, avec p fixé, p ~no, on a llup - ulloo ~ e, d'où up - u bornée
et comme Up est bornée, u est bornée. De plus on a Ve> 0, 3no,
Vp ~no, llup - ulloo ~ e, ce qui prouve finalement, la convergence de la
suite de Cauchy (un)nEN vers u pour la norme de B(I, E).
•
COROLLAIRE 12.46. - L'espace R(I, E) des fonctions réglées, de I = [a, b]
dans E, espace vectoriel normé complet est complet pour la norme de la
convergenc~ uniforme.
En effet, R(I, E), adhérence de l'espace des fonctions en escalier, est
alors un fermé dans un complet, donc un complet.
•
Mais alors, si on dispose d'une application continue, (uniformément)
de ê(I, E) dans E, elle admettra un et un seul prolongement à R(J, E),
(théorème 4.107): c'est ce qui va nous permettre de définir l'intégrale des
fonctions réglées.
Soit g en escalier sur I = [a,b], xo = a < x1 < ... < Xn = b
une subdivision de [a, b] telle que g(x) = ki pour x E]xi,Xï+i[, pour
i = 0, 1, ... , n - 1.
n-1
On pose µ(g) = L(Xï+l - Xï)ki, ce que l'on note encore J,g.
i=O
I
Ona
n-1
n-1
llµ(g)ll ~ L(Xï+l - Xï)llkïll ~ L(Xi+l - Xï)llYlloo
i=O
i=O
soit llµ(g)ll ~ (b- a)llYlloo·
Comme il est facile de vérifier que g ~ J, g est linéaire de ê ( I, E)
dans E, c'est que l'applicationµ est linéaire continue de ê(I, E) dans E,
donc uniformément continue de ê(I, E) dans E, (théorème 6.18.).
Mais alors, pour f réglée de I dans E, limite uniforme des fonctions en
escalier 9n. on posera J, f = lim J, 9n. vu le rappel fait du théorème
I
n--++oo I
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On lit 12.44. pour t fixé, cela signifie que la suite (up(t))pEN est de
Cauchy dans E complet, donc convergente. On note u(t) sa limite.
Dans 12.44, avec e, no, p ~ no et t fixés, si q tend vers +oo, la
continuité de la norme permet de dire que llup(t) - u(t)ll ~ e. On a donc
12.45.
Ve> 0, 3no, Vp ~no, Vt E J, llup(t) - u(t)ll ~ e,
mais alors, avec p fixé, p ~no, on a llup - ulloo ~ e, d'où up - u bornée
et comme Up est bornée, u est bornée. De plus on a Ve> 0, 3no,
Vp ~no, llup - ulloo ~ e, ce qui prouve finalement, la convergence de la
suite de Cauchy (un)nEN vers u pour la norme de B(I, E).
•
COROLLAIRE 12.46. - L'espace R(I, E) des fonctions réglées, de I = [a, b]
dans E, espace vectoriel normé complet est complet pour la norme de la
convergenc~ uniforme.
En effet, R(I, E), adhérence de l'espace des fonctions en escalier, est
alors un fermé dans un complet, donc un complet.
•
Mais alors, si on dispose d'une application continue, (uniformément)
de ê(I, E) dans E, elle admettra un et un seul prolongement à R(J, E),
(théorème 4.107): c'est ce qui va nous permettre de définir l'intégrale des
fonctions réglées.
Soit g en escalier sur I = [a,b], xo = a < x1 < ... < Xn = b
une subdivision de [a, b] telle que g(x) = ki pour x E]xi,Xï+i[, pour
i = 0, 1, ... , n - 1.
n-1
On pose µ(g) = L(Xï+l - Xï)ki, ce que l'on note encore J,g.
i=O
I
Ona
n-1
n-1
llµ(g)ll ~ L(Xï+l - Xï)llkïll ~ L(Xi+l - Xï)llYlloo
i=O
i=O
soit llµ(g)ll ~ (b- a)llYlloo·
Comme il est facile de vérifier que g ~ J, g est linéaire de ê ( I, E)
dans E, c'est que l'applicationµ est linéaire continue de ê(I, E) dans E,
donc uniformément continue de ê(I, E) dans E, (théorème 6.18.).
Mais alors, pour f réglée de I dans E, limite uniforme des fonctions en
escalier 9n. on posera J, f = lim J, 9n. vu le rappel fait du théorème
I
n--++oo I