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Analyse fonctionnelle
4.107 du chapitre 4, et l'application f ---+ if est une application continue,
linéaire, de 'R(I, E) dans E, vérifiant Ili /Il ~ (b - a)ll/lloo·
Rappelons que I = [a, b]. Il est facile de justifier la linéarité.
Pour la formule de majoration, par continuité de la norme, (de E dans
IR) on a
et là encore, lim ll9nlloo = 11/lloo. (convergence des 9n vers f pour
n-++oo
11 l loo. et continuité de cette norme) d'où
Dans le cas des fonctions à valeurs dans E espace de Banach, c'est un
moyen de définir une intégrale, valable pour les fonctions réglées.
Dans le cas particulier de E = IR, on peut se demander s'il y a un
rapport avec l'intégrale de Riemann. En fait on a :
THÉORÈME 12.47. - Soit f réglée de [a, b] dans IR, elle est Riemann
intégrable et son intégrale au sens de Riemann est égale à son intégrale en
tant que fonction réglée.
Soit f, limite uniforme de la suite des fonctions en escalier (gn)nEN·
Si x~n) = a < sin) < ... < x~n) = b est une subdivision de [a, b]
telle que 9n soit constante, égale à k;n) sur ]x;n), x~~l [on a 9n Darboux
intégrable sur chaque [x~n), x~~ 1 ], (on modifie 9n aux deux extrémités,
(n)
1
xi+l
(n)
(n) (n)
et elle devient constante), et de plus x(n) 9n(t)dt = (xi+l - xi )ki ,
•
donc en sommant pour i variant de 0 à p - 1, on a, (relation de Chasles),
b
p-1
{
( )
'"'( (n)
(n)) (n)
( )
la 9n t dt= L..,; xi+l - xi ki = µ 9n
a
i=O