Espaces fonctionnels
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en notant µ(gn) l'intégrale de la fonction en escalier Yn et lb Yn(t)dt son
intégrale de Riemann. Mais alors, l'intégrale de f, réglée, est
µ(!) = lim µ(gn) par définition.
n-++oo
Or les Yn. Riemann intégrables convergeant vers f uniformément on
sait, (théorème 12.11) que f est Riemann intégrable, et que l'intégrale
de Riemann, 1b f(t)dt est égale à lim 1b Yn(t)dt d'où finalement
a
n-++oo a
l'égalité lb f(t)dt = µ(!).
12.48. Enfin, il y a des fonctions Darboux intégrables, non réglées.
Par uemple, f définie sur [O, 1] par /(0) = 0, f(x) =sin_!. six =F 0,
X
est non réglée, ( lim f n'existe pas, donc f non réglée d'après le théorème
x-+O+
12.38). Mais elle est Riemann intégrable car bornée et l'ensemble de ses
points de discontinuité est {O}, de mesure nulle (au sens de Darboux) voir
théorème 8.61, tome 2.
4. Théorème de Stone Weierstrass
C'est d'une pierre importante dans l'édifice de l'analyse fonctionnelle,
qu'il va s'agir.
12.49. Soit X un espace topologique compact, on considère l'algèbre
C 0 (X, R) des applications continues de X dans IR, le produit étant le
produit usuel de deux fonctions f et g: x ~ f(x)g(x).
En tant qu'espace vectoriel, C 0 (X, IR) est normé par la norme de la
convergence uniforme car f, continue de X compact dans R est bornée
et atteint ses bornes (corollaire 2.19, Tome 2), X non vide bien sûr, donc
11/lloo = sup{lf(x)l;x EX} existe.
En fait on a, plus généralement, si E est un Banach, et si f est
continue de X compact dans E, l'application x ~ 11/(x)ll est continue
de X dans R, (la norme étant continue de E dans IR) donc 11/lloo existe
et: