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Analyse fonctionnelle
THÉORÈME 12.50. - Si E est un espace de Banach, l'espace vectoriel
C 0 (X, E) avec X topologique compact est un espace de Banach pour la
norme de la convergence uniforme.
En effet C 0 (X, E) est sous-espace de l'espace B(X, E) des applications
bornées de X dans E qui est un Banach pour la norme de la convergence
uniforme (théorème 12.43), et comme une limite uniforme de fonctions
continues est continue (théorème 12.7), C 0 (X, E) est fermé dans un
complet, donc complet.
•
Dans le cas particulier où E est un corps, (IR,ou C), complet, C 0 (X, E)
devient une algèbre, et on se propose de trouver des conditions pour qu'une
sous-algèbre A de C 0 (X, E) soit partout dense dans cet espace. Si on
étudie plus particulièrement le cas de E =IR, c'est parce qu'on récupère
alors la relation d'ordre sur IR qui va donner beaucoup de résultats, comme
par exemple les théorèmes de Dini.
·
THÉORÈME 12.51. (Dini 1)- Soit une suite croissante (f n)nEN de fonctions
continues de X compact dans R. Si la suite converge simplement vers f
continue, alors la convergence est uniforme.
Soit e > 0, fixé,
A chaque x de X on associe n(x) tel que n ~ n(x) =>
If ( x) - f n ( x) 1 ~ ~. En fait, la fonction If - f n(x) I étant continue, majorée
par~ en x, reste localement majorée pare: 3w(x) ouvert de X contenant
x tel que, Vy E w(x),
l lf(y) - fn(x)(Y)l - lf(x) - fn(x)(x)l I ~ ~
d'où l'on déduit IJ(y) - fn(x)(Y)I ~ e, pour tout y de w(x).
Enfin, comme la suite des fonctions est croissante, la limite f (y) est
obtenue par valeurs inférieures, et on a : Vx E X, 3n(x) E N, 3w(x)
ouvert contenant x, avec, Vy E w(x),
f(y) - e ~ fn(x)(Y) ~ f(y)
et comme les fn(Y) convergent, en croissant, vers J(y), (il y a convergence
simple des fn), Vn ~ n(x) on aura : fn(x)(Y) ~ fn(Y) ~ J(y), d'où en
fait:
12.52.
Vn ~ n(x), Vy E w(x), J(y) - e ~ fn(Y) ~ f(y).
Analyse fonctionnelle
THÉORÈME 12.50. - Si E est un espace de Banach, l'espace vectoriel
C 0 (X, E) avec X topologique compact est un espace de Banach pour la
norme de la convergence uniforme.
En effet C 0 (X, E) est sous-espace de l'espace B(X, E) des applications
bornées de X dans E qui est un Banach pour la norme de la convergence
uniforme (théorème 12.43), et comme une limite uniforme de fonctions
continues est continue (théorème 12.7), C 0 (X, E) est fermé dans un
complet, donc complet.
•
Dans le cas particulier où E est un corps, (IR,ou C), complet, C 0 (X, E)
devient une algèbre, et on se propose de trouver des conditions pour qu'une
sous-algèbre A de C 0 (X, E) soit partout dense dans cet espace. Si on
étudie plus particulièrement le cas de E =IR, c'est parce qu'on récupère
alors la relation d'ordre sur IR qui va donner beaucoup de résultats, comme
par exemple les théorèmes de Dini.
·
THÉORÈME 12.51. (Dini 1)- Soit une suite croissante (f n)nEN de fonctions
continues de X compact dans R. Si la suite converge simplement vers f
continue, alors la convergence est uniforme.
Soit e > 0, fixé,
A chaque x de X on associe n(x) tel que n ~ n(x) =>
If ( x) - f n ( x) 1 ~ ~. En fait, la fonction If - f n(x) I étant continue, majorée
par~ en x, reste localement majorée pare: 3w(x) ouvert de X contenant
x tel que, Vy E w(x),
l lf(y) - fn(x)(Y)l - lf(x) - fn(x)(x)l I ~ ~
d'où l'on déduit IJ(y) - fn(x)(Y)I ~ e, pour tout y de w(x).
Enfin, comme la suite des fonctions est croissante, la limite f (y) est
obtenue par valeurs inférieures, et on a : Vx E X, 3n(x) E N, 3w(x)
ouvert contenant x, avec, Vy E w(x),
f(y) - e ~ fn(x)(Y) ~ f(y)
et comme les fn(Y) convergent, en croissant, vers J(y), (il y a convergence
simple des fn), Vn ~ n(x) on aura : fn(x)(Y) ~ fn(Y) ~ J(y), d'où en
fait:
12.52.
Vn ~ n(x), Vy E w(x), J(y) - e ~ fn(Y) ~ f(y).