Espaces fonctionnels
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Du recouvrement ouvert X = LJ w(x) de X compact, on extrait
xEX
un recouvrement fini associé aux éléments x1, ... , Xp, mais alors avec
no = sup{n(xi)i 1 :::;; i :::;; p}, qui existe puisqu'on a un nombre fini
d'entiers, (c'est à cela que sert la compacité), on a
Vn ~no, Vy EX, f(y) - ê :::;; fn(Y) :::;; f(y)
puisque y est dans un w(xi) pour uni :::;; p, et que n est supérieur à n(xi):
c'est 12.52 qui s'applique.
En fait, 'Vn ~no, Il/ - fnlloo :=:;; ê: il y a convergence uniforme. •
Il existe un deuxième énoncé très ressemblant : c'est Dini 2.
THÉORÈME 12.53. (Dini 2). - Soit une suite (/n)neN de fonctions continues
croissantes de [a, b] dans IR qui converge simplement vers f continue. Alors
la convergence est uniforme.
Ici ce sont les fonctions qui sont croissantes, ce qui suppose que
l'ensemble de départ est dans R.
D'abord, f est croissante aussi car si on a x et x' dans Ja, b] avec
x < x', comme pour tout n, fn(x) :::;; fn(x'), à la limite, (x et x fixés), on
aura f(x) :::;; f(x').
Soit c > 0 fixé. A chaque x de [a, b], comme f est continue, on associe
un a(x) > 0 tel que (Jt - xi :::;; a(x) et t E [a, b]) =? (lt(t) - f(x)J :::;; i).
En fait comme f est croissante, six E]a, b[ on impose à a(x) d'être assez
petit pour que x - a(x) et x + a(x) soient dans [a, b], et on a alors,
'Vt E]x - a(x), x + a(x)[= w(x) :
é
é
f(x) - 3 : : : ; ; f(x - a(x)) :::;; f(t) :::;; f(x + a(x)) :::;; f(x) + 3'
(les inégalités extrêmes par continuité de f, les autres par monotonie).
Six= a, on pose w(a) = [a, a+ a(a)[, et, 'Vt E w(a), il vient
é
f(a):::;; f(t):::;; f(a-+- a(a)):::;; f(a) + 3;
alors que pour x = b on aura,
é
'Vt E w(b) =]b - a(b), b], f(b) - 3 : : : ; ; f(b - a(b)) :::;; f(t) :::;; f(b).