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Analyse fonctionnelle
Soit x E]a, b[ : on a lim fn(x - a(x)) = f(x - a(x)) et aussi·
n-++oo
lim fn(x + a(x)) = f(x + a(x)), donc, à e on associe n(x) tel que
n-++oo
ê
Vn ~ n(x)~ Jf(x - a(x)) - fn(x - a(x))J ~ 3 et
Jf(x + a(x)) - fn(x + a(x))J ~ i· Mais alors, comme fn est croissante,
on aura, Vn ~ n(x) et Vt E]x - a(x), x + a(x)[:
ê
ê
f(x) - 23 ~ f(x ..... a(x)) - 3 ~ fn(x - a(x)) ~ fn(t) ~ fn(x + a(x))
ê
ê
~ f(x + a(x)) + 3 ~ f(x) + 23;
comme on a aussi
ê
ê
f(x) - 3 ~ f(t) ~ f(x) + 3
il vient
ê (
ê)
ê (
2ë)
f(x) - 3 - f(x) + 23 ~ f(t) - fn(t) ~ f(x) + 3 - f(x) - 3
et finalement, à x E]a, b[ on associe en entier n(x) et un ouvert
]x - a(x), x + a(x)[= w(x), tels que Vn ~ n(x) et Vt E w(x),
lf(t) - fn(t)I ~ e.
Pour x =a, on ne traduit la limite qu'en a+ a(a), d'où un n(a) E N
et un ouvert w(a) =[a, a+ a(a)[ de [a, b] tels que Vn ~ n(a), Vt E w(a),
If (t) - f n(t) 1 ~ ë, et de même en b avec un ouvert du type ]b - a(b), b].
Mais alors, [a, b] = LJ w(x), on extrait un recouvrement fini,
:z:E(a,b]
p
[a, b] = LJ w(xi), et si no = sup{n(xi), i = 1, ... ,p} on a, comme pour
i=l
Dini 1, Vn ~no, llfn - flloo ~ ë.
•
Remarque: la continuité des fn n'a pas servi.
Le premier théorème de Dini va nous permettre d'obtenir un résultat
technique, que l'on peut obtenir d'ailleurs tout à fait différemment (voir
chapitre 15, exercice n° 2).
THÉORÈME 12.54. - Il existe une suite de fonctions polynômes (Pn)nEN
qui converge uniformément vers la fonction x ~ lxJ sur [-1, 1].