Espaces fonctionnels
97
En fait on approche d'abord uniformément la fonction x - ./X sur
[O, lJ, par des polynômes.
Pour cela on part du polynôme Qo nul. On a 0 ~ Qo(x) ~ ./X sur
[O, lJ et en fait Qo(x) <./X sur JO, lJ.
Supposon,s construits Qo, Qi, ... Qn des polynômes vérifiant Qo(O) =
Qi(O) = ... = Qn(O) et 0 ~ Qo(x) ~ ... ~ Qn(x) <./X sur JO, lJ.
12.55. Alors Q~(x) < x sur JO, lJ, donc en posant Qn+i(x) = Qn(x) +
1
2(x - Q~(x)) on définit une fonction polynôme telle que Qn+i(O) = 0,
Qn+i(x) > Qn(x) surJO,lJ,etdeplusQn+i(x) < ./XsurJO,lJ car c'est
1
équivalent à 2 (x - Q~(x)) < ./X - Qn(x), ou à
1
2( ./X- Qn(x))( Vx + Qn(x)) < v'X- Qn(x),
donc, comme ./X - Qn(x) est> 0 sur JO, lJ, c'est équivalent à
1
2(./X + Qn(x)) < 1 sur JO, lJ, ce qui est vrai puisque Qn(x) < .jX ~ 1.
Finalement, on a une suite croissante de fonctions polynômes, les Qn.
vérifiant les inégalités
0 ~ Qo(x) ~ Qi(x) ~ ... ~ Qn(x) ~ v'X sur [O, lJ.
Suite croissante majorée ... il y a convergence et f(x) = lira Qn(x)
n-++oo
1
vérifie la relation f(x) = f(x) + 2 (x - f 2 (x)), obtenue par passage à la
limite dans la relation de récurrence 12.55.
Comme f(x) ~ 0, c'est que f(x) = .jX.
Mais la limite étant fonction continue de x dans [O, lJ compact, et
la suite croissante, par Dini 1, (théorème 12.51.), la convergence est
uniforme. On a donc,
Ve> 0, 3no, Vn ~no, Vx E [O, lJ, lv'x - Qn(x)I ~ e.
Mais alors, pour tout t de [-1, lJ, x = t 2 E [O, lJ, et on a
!# - Qn(t 2 )1 ~ e, c'est-à-dire qu'en posant Pn(t) = Qn(t 2 ), on définit
une suite de polynômes telle que :
Ve> 0, 3no EN, Vn ~no, Vt E [-1, 1], lit! - Pn(t)i ~ e
c'est bien le résultat cherché.
•