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Analyse fonctionnelle
Ce résultat, utile pour la justification de Stone Weierstrass me plait
aussi parce qu'il permet de répondre à une question en général non posée,
du moi,ns si j'en juge par mon passé d'étudiant : la même suite peut-elle
avoir des limites différentes pour des normes différentes? Honnêtement,
on répond plutôt non ... Eh bien non, c'est oui.
Soit en effet E = IR[X], A une partie bornée, de cardinal infini de IR,
on définit une norme NA sur E par :
NA(P) = sup{IP(x)I; x E A}.
C'est une norme car AC A fermé borné donc compact, et NA(P) =
N-x(P) d'ailleurs car Pest continue, existe. Si c'est nul, le polynôme P
est nul, (infinité de zéros), et on vérifie facilement qu'il s'agit d'une norme.
Soit alors les polynômes (Pn)nEN que nous venons de construire, et
les deux polynômes Q(x) = x et -Q = R.
Si A= [-1,0], comme alors ltl = -t = R(t), on a
'v'ê > 0, 3no EN, 'v'n ~no, 'v't E [-1,0], IR(t) - Pn(t)I ~ ê
soit NA(R- Pn) ~ ê pour n ~no: la suite des Pn converge vers R pour
la norme NA.
Par contre, avec B = [O, 1], pour t E [O, l], ltl = t = Q(t), et cette fois
on aura lim NB(Q- Pn) =O.
n-++oo
Donc cette suite admet deux limites différentes pour deux normes
différentes.
•
Par petits pas, approchons nous de Stone-Weierstrass, et parlons
d'abord de partie réticulée.
DÉFINITION 12.56. - Une partie A de l'algèbre C 0 (X,R), (X topologique
compact) est dite réticulée si, lorsque f et g sont dans .A, les fonctions
sup(f,g) et inf(f,g) sont dans A
Remarquons d'abord, que ces deux fonctions sont continues. En effet
ona
1
sup(f,g)(x) = 2 (f(x) + g(x) + lf(x) - g(x)I)
et
1
.
inf(f, g)(x) = 2(f(x) + g(x) - lf(x) - g(x)I)